Calcule
\int \tan ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \tan^{4}x\,dx.
O conteúdo aqui envolve identidades trigonométricas (ta n^{2} em função de se c^{2}) e técnicas básicas de integração.

Passo 2

Usamos a identidade
\tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1
para escrever
\tan^{4}x = (\tan^{2}x)^{2} = (\operatorname{sec}^{2}x - 1)^{2} = \operatorname{sec}^{4}x - 2\operatorname{sec}^{2}x + 1.

Passo 3

Isso nos dá a decomposição
\int \tan^{4}x\,dx = \int \operatorname{sec}^{4}x\,dx \;-\; 2\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx \;+\;\int 1\,dx.

Passo 4

Para \displaystyle \int \operatorname{sec}^{4}x\,dx, fazemos u=\tan x, logo du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx. Reescrevendo:
\int \operatorname{sec}^{4}x\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x\,dx = \int (1+u^{2})\,du = u + \frac{u^{3}}{3} = \tan x + \frac{\tan^{3}x}{3}.

Passo 5

Agora substituímos de volta:
\int \tan^{4}x\,dx = \Bigl(\tan x + \frac{\tan^{3}x}{3}\Bigr) -2\tan x + x + C = \frac{\tan^{3}x}{3} - \tan x + x + C.

Resposta

\displaystyle \frac{\tan^{3}x}{3}\;-\;\tan x\;+\;x\;+\;C

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