O valor de
\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x^{2}} d x
( ) \sqrt{3}+\frac{7}{2}
() \sqrt{3}-\frac{5}{3}
() \sqrt{3}-\frac{5}{6}
( ) \sqrt{3}-\frac{5}{4}
() \sqrt{3}+\frac{5}{2}
( ) \sqrt{3}+\frac{2 \pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}} \, dx.
O conteúdo usado será integração por substituição trigonométrica e a identidade
\int \cot^{2}\theta \, d\theta = -\cot\theta - \theta + C.

Passo 2

Fazemos a substituição x = 2\sin\theta. Então
dx = 2\cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{4 - x^{2}} = 2\cos\theta, \quad x^{2} = 4\sin^{2}\theta.
Os limites em x de 1 a 2 viram, em \theta, de \theta_{1} = \arcsin\bigl(\tfrac12\bigr)=\tfrac{\pi}{6} a \theta_{2} = \arcsin(1)=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Substituindo no integrando:
\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}}\,dx = \frac{2\cos\theta}{4\sin^{2}\theta}\,\bigl(2\cos\theta\,d\theta\bigr) = \frac{4\cos^{2}\theta}{4\sin^{2}\theta}\,d\theta = \cot^{2}\theta\,d\theta.
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\int_{1}^{2}\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}}\,dx = \int_{\pi/6}^{\pi/2}\cot^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Usando \int\cot^{2}\theta\,d\theta = -\cot\theta - \theta, temos
\int_{\pi/6}^{\pi/2}\cot^{2}\theta\,d\theta = \Bigl[-\cot\theta - \theta\Bigr]_{\theta=\pi/6}^{\theta=\pi/2} = \bigl(-\cot(\tfrac{\pi}{2}) - \tfrac{\pi}{2}\bigr) - \bigl(-\cot(\tfrac{\pi}{6}) - \tfrac{\pi}{6}\bigr).
Como \cot(\tfrac{\pi}{2})=0 e \cot(\tfrac{\pi}{6})=\sqrt{3}, segue
= \Bigl(0 - \tfrac{\pi}{2}\Bigr) - \Bigl(-\sqrt{3} - \tfrac{\pi}{6}\Bigr) = -\frac{\pi}{2} + \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}

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