Calcule as integrais abaixo:
\int[0 até 2 ] \frac{16 \arctan{x}}{1+x^2} dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{2} \frac{16\,\arctan(x)}{1+x^2}\,dx.
O conteúdo da matéria aqui é reconhecer padrões de derivada de funções compostas, em particular a relação entre \arctan(x) e sua derivada.

Passo 2

Observe que
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(x)^2\bigr) =2\,\arctan(x)\,\frac{1}{1+x^2} =2\,\frac{\arctan(x)}{1+x^2}.
Multiplicando ambos os lados por 8, obtemos
8\,\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(x)^2\bigr) =16\,\frac{\arctan(x)}{1+x^2},
ou seja, o integrando é a derivada de 8\,\arctan(x)^2.

Passo 3

Portanto
\int_{0}^{2} \frac{16\,\arctan(x)}{1+x^2}\,dx =\int_{0}^{2} \frac{d}{dx}\bigl(8\,\arctan(x)^2\bigr)\,dx =\bigl[\,8\,\arctan(x)^2\bigr]_{0}^{2}.
Como \arctan(0)=0, isso fica
8\bigl(\arctan(2)^2-\arctan(0)^2\bigr) =8\,\arctan(2)^2.

Resposta

8\,\arctan(2)^2

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