O valor de
\int_{0}^{\pi} \sin ^{5} x \cos ^{2} x d x
( )-13/105
( ) 26/105
( ) 16 / 105
( ) -14 / 105
( ) 0
( ) 17 / 105

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi} \sin^{5}x \,\cos^{2}x \,dx.
O conteúdo é integração de potências de funções trigonométricas. Vamos precisar usar a identidade de redução para integrais de \sin^n x e a identidade trigonométrica \cos^2x=1-\sin^2x.

Passo 2

Usando \cos^2x=1-\sin^2x, reescrevemos a integral como
\int_{0}^{\pi}\sin^{5}x\,\cos^{2}x\,dx =\int_{0}^{\pi}\sin^{5}x\,(1-\sin^{2}x)\,dx =\int_{0}^{\pi}\sin^{5}x\,dx -\int_{0}^{\pi}\sin^{7}x\,dx.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de redução
\int_{0}^{\pi}\sin^{n}x\,dx =\frac{n-1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin^{n-2}x\,dx,
começando por \int_{0}^{\pi}\sin^{5}x\,dx:
\int_{0}^{\pi}\sin^{5}x\,dx =\frac{4}{5}\int_{0}^{\pi}\sin^{3}x\,dx =\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx =\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot 2 =\frac{16}{15}.
Em seguida,
\int_{0}^{\pi}\sin^{7}x\,dx =\frac{6}{7}\int_{0}^{\pi}\sin^{5}x\,dx =\frac{6}{7}\cdot\frac{16}{15} =\frac{96}{105} =\frac{32}{35}.

Passo 4

Voltando à diferença,
\int_{0}^{\pi}\sin^{5}x\,\cos^{2}x\,dx =\frac{16}{15}-\frac{32}{35} =\frac{112-96}{105} =\frac{16}{105}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{105}

Exercícios relacionados