Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada:
\int_{C} 2 \sqrt{x^{2}+y^{2}} d s, C parametrizada por x=e^{t} \cos (t), y=e^{t} \operatorname{sen}(t), 0 \leq t \leq \ln (2)

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha da função \,f(x,y)=2\sqrt{x^2+y^2} sobre a curva C dada pela parametrização
x(t)=e^t\cos t,\quad y(t)=e^t\operatorname{sen} t,\quad 0\le t\le \ln(2).
O conteúdo aqui é “integral de linha com respectivo elemento de comprimento”:
\int_C f(x,y)\,ds =\int_{t=0}^{t=\ln(2)} f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt.

Passo 2

Primeiro substituímos \sqrt{x^2+y^2} em função de t:
\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{e^{2t}\bigl(\cos^2t+\operatorname{sen}^2t\bigr)} =e^t.
Logo
f\bigl(x(t),y(t)\bigr) =2\,e^t.

Passo 3

Agora calculamos x'(t) e y'(t):
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^t\cos t\bigr) =e^t\cos t - e^t\operatorname{sen} t =e^t(\cos t-\operatorname{sen} t),
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^t\operatorname{sen} t\bigr) =e^t\operatorname{sen} t + e^t\cos t =e^t(\operatorname{sen} t+\cos t).
Então
\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2 =e^{2t}\bigl[(\cos t-\operatorname{sen} t)^2+(\operatorname{sen} t+\cos t)^2\bigr] =e^{2t}\cdot2 =2\,e^{2t}.
Assim
ds=\sqrt{2\,e^{2t}}\,dt =e^t\sqrt{2}\,dt.

Passo 4

Montamos a integral em t:
\int_C2\sqrt{x^2+y^2}\,ds =\int_{0}^{\ln(2)}\bigl(2e^t\bigr)\bigl(e^t\sqrt{2}\bigr)\,dt =2\sqrt{2}\int_{0}^{\ln(2)}e^{2t}\,dt.
Fazendo a antiderivada:
\int e^{2t}\,dt=\frac{1}{2}e^{2t},
então
2\sqrt{2}\int_{0}^{\ln(2)}e^{2t}\,dt =2\sqrt{2}\left[\frac{1}{2}e^{2t}\right]_{0}^{\ln(2)} =\sqrt{2}\Bigl(e^{2\ln(2)}-e^0\Bigr) =\sqrt{2}(4-1).

Resposta

3\sqrt{2}.

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