Calcule a integral de linha usando o Teorema de Green e verifique a resposta calculando-a diretamente (sem o Teorema).
\oint_{C} x^{2} y^{2} d x+x y d y, onde C consiste nos segmentos de reta (1,1) a (0,1) e de (0,1) a (0,0) e na parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\oint_{C} x^{2}y^{2}\,dx \;+\; x\,y\,dy,
sendo C o contorno fechado formado pelos três trechos:
  1. Segmento de reta de (1,1) a (0,1).
  2. Segmento de reta de (0,1) a (0,0).
  3. Parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,1).
    Vamos primeiro usar o Teorema de Green (que transforma a integral de linha num integral dupla sobre a região D limitada por C) e depois confirmar o resultado fazendo a soma direta das integrais em cada trecho.

Passo 2

Pela forma diferencial P\,dx+Q\,dy com
P(x,y)=x^{2}y^{2}, \quad Q(x,y)=x\,y,
o Teorema de Green diz
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Calculamos as derivadas:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial (x\,y)}{\partial x} =y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial (x^{2}y^{2})}{\partial y} =2\,x^{2}y.
Logo o integrando fica
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = y - 2x^{2}y = y\,(1-2x^{2}).

Passo 3

A região D é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x^{2}\le y\le1\}.
Portanto
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{1}y\,(1-2x^{2})\,dy\,dx.
Vamos fazer primeiro a integral em y:
\int_{y=x^{2}}^{1}y\,dy =\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{x^{2}}^{1} =\frac{1}{2}-\frac{x^{4}}{2} =\frac{1-x^{4}}{2}.
Logo a integral dupla é
\int_{0}^{1}(1-2x^{2})\;\frac{1-x^{4}}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\bigl(1-2x^{2}-x^{4}+2x^{6}\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculemos
I=\int_{0}^{1}\bigl(1-2x^{2}-x^{4}+2x^{6}\bigr)\,dx =\Bigl[x\Bigr]_{0}^{1} -2\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} -\Bigl[\tfrac{x^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{1} +2\Bigl[\tfrac{x^{7}}{7}\Bigr]_{0}^{1}.
Substituindo limites:
I=1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{5} + \frac{2}{7} =\frac{105 - 70 - 21 + 30}{105} =\frac{44}{105}.
Multiplicando por \tfrac12 vem
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\frac{1}{2}\,I =\frac{1}{2}\,\frac{44}{105} =\frac{22}{105}.

Passo 5

Agora verificamos fazendo a soma direta em cada trecho:
  1. Trecho C_{1}\colon(1,1)\to(0,1). Parâmetro t\in[0,1]:
    \;x=1-t,\;y=1,\;dx=-dt,\;dy=0.
    \int_{C_{1}}x^{2}y^{2}\,dx + x\,y\,dy =\int_{0}^{1}(1-t)^{2}\cdot1^{2}(-dt) =-\int_{0}^{1}(1-t)^{2}dt =-\frac{1}{3}.
  2. Trecho C_{2}\colon(0,1)\to(0,0). Parâmetro s\in[0,1]:
    \;x=0,\;y=1-s,\;dx=0,\;dy=-ds.
    Aqui P\,dx=0 e Q\,dy=0, logo a contribuição é 0.
  3. Trecho C_{3}\colon parábola y=x^{2}, x=t de 0 a 1:
    \;x=t,\;y=t^{2},\;dx=dt,\;dy=2t\,dt.
    P\,dx = t^{2}\,t^{4}\,dt = t^{6}dt, \quad Q\,dy = t\,t^{2}\,2t\,dt = 2t^{4}dt,
\int_{C_{3}}=\int_{0}^{1}\bigl(t^{6}+2t^{4}\bigr)dt =\Bigl[\tfrac{t^{7}}{7}+\tfrac{2t^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{7}+\frac{2}{5} =\frac{5+14}{35} =\frac{19}{35}.
Somando as três partes:
-\frac{1}{3}+0+\frac{19}{35} =\frac{-35+57}{105} =\frac{22}{105},
coincidindo com o valor obtido por Green.

Resposta

\displaystyle \frac{22}{105}

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