Calcule a integral de linha usando o Teorema de Green e verifique a resposta calculando-a diretamente (sem o Teorema).
, onde C consiste nos segmentos de reta
a
e de
a
e na parábola
de
a
Passo 1
O enunciado pede para calcular
sendo
o contorno fechado formado pelos três trechos:
- Segmento de reta de
a . - Segmento de reta de
a . - Parábola
de a .
Vamos primeiro usar o Teorema de Green (que transforma a integral de linha num integral dupla sobre a regiãolimitada por ) e depois confirmar o resultado fazendo a soma direta das integrais em cada trecho.
Passo 2
Pela forma diferencial
com
o Teorema de Green diz
Calculamos as derivadas:
Logo o integrando fica
Passo 3
A região
é
Portanto
Vamos fazer primeiro a integral em
:
Logo a integral dupla é
Passo 4
Calculemos
Substituindo limites:
Multiplicando por
vem
Passo 5
Agora verificamos fazendo a soma direta em cada trecho:
-
Trecho
. Parâmetro :
-
Trecho
. Parâmetro :
Aquie , logo a contribuição é . -
Trecho
parábola , de a :
Somando as três partes:
coincidindo com o valor obtido por Green.