Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \vec{F}=(P, Q)=\left(\cos \left(x y^{2}\right)-x y^{2} \operatorname{sen}\left(x y^{2}\right),-2 x^{2} y \operatorname{sen}\left(x y^{2}\right)\right) e C é dada por
C: \vec{r}(t)=\left(t+(t-1) \ln \left(1+t^{2}\right),-\cos \left(\frac{\pi}{2} t\right)\right), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde
\vec F(x,y)=\bigl(P(x,y),Q(x,y)\bigr) =\Bigl(\cos(xy^{2})-x y^{2}\sin(xy^{2}),\,-2x^{2}y\sin(xy^{2})\Bigr)
e a curva C é dada por
\vec r(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr) =\Bigl(t+(t-1)\ln(1+t^{2}),\,-\cos\bigl(\tfrac\pi2t\bigr)\Bigr),\quad 0\le t\le1.
Vamos verificar se \vec F é conservativo e, em caso afirmativo, usar o potencial para aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Calculamos \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x. Defina
f(x,y)=x\,y^{2}.
Então
P(x,y)=\cos(f)-f\sin(f),
\frac{\partial P}{\partial y} =-\sin(f)\,\frac{\partial f}{\partial y} -\Bigl(\frac{\partial f}{\partial y}\sin(f)+f\cos(f)\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) =-2xy\sin(f)-\bigl(2xy\sin(f)+2xy\,f\cos(f)\bigr) =-4xy\sin(f)-2xyf\cos(f).
Por outro lado,
Q(x,y)=-2x^{2}y\sin(f),
\frac{\partial Q}{\partial x} =-4xy\sin(f)-2x^{2}y\cos(f)\,\frac{\partial f}{\partial x} =-4xy\sin(f)-2x^{2}y\cos(f)\,(y^{2}) =-4xy\sin(f)-2xyf\cos(f).
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo \mathbb R^{2}, \vec F é conservativo.

Passo 3

Buscamos \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=P(x,y).
Observe que
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[x\cos(xy^{2})\bigr] =\cos(xy^{2})+x\bigl(-\sin(xy^{2})\bigr)\,y^{2} =\cos(f)-x y^{2}\sin(f) =P(x,y).
Logo podemos tomar
\psi(x,y)=x\cos(xy^{2}).
Verifica-se também que \partial\psi/\partial y=Q(x,y).

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\psi\bigl(x(1),y(1)\bigr)-\psi\bigl(x(0),y(0)\bigr).
Calculamos os extremos da curva:
\vec r(0)=\bigl(0+(0-1)\ln1,\,-\cos0\bigr)=(0,-1),
\vec r(1)=\bigl(1+(1-1)\ln2,\,-\cos\frac\pi2\bigr)=(1,0).

Passo 5

Agora
\psi\bigl(1,0\bigr) =1\cdot\cos\bigl(1\cdot0^{2}\bigr)=\cos0=1,
\psi\bigl(0,-1\bigr) =0\cdot\cos\bigl(0\cdot(-1)^{2}\bigr)=0.
Portanto
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =1-0=1.

Resposta

1

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