Questão 2: Função Inversa
Considere a função
.
(a) Mostre que
é bijetora.
(b) Determine a função inversa
.
Considere a função
(a) Mostre que
(b) Determine a função inversa
Passo 1
O enunciado define a função
Queremos mostrar que
é bijetora (injectiva e sobrejectiva, fazendo
) e, em seguida, encontrar
. Para isso usaremos argumentos de igualdade de frações e resolução algébrica para inverter a fórmula.
Passo 2
Injectividade. Suponha que
isto é,
com
e
. Como
e
, cruzamos os denominadores:
Expandindo ambos os lados:
Cancelamos
e
em cada membro, obtendo
Reagrupando termos com
de um lado e com
do outro:
Logo
é injectiva.
Passo 3
Sobrejectividade. Para achar o conjunto-imagem, tome
, isto é
Multiplique ambos os lados por
:
Desde que
, podemos dividir:
Isso mostra que para todo
existe
tal que
. Portanto a imagem de
é
, e
é sobrejectiva de
em
.
Passo 4
Função inversa. Na expressão
trocamos o papel de
e
para obter
. Assim, para a variável de entrada denotada ainda por
, temos
Resposta
A função
é bijetora, e sua inversa é