Questão 2: Função Inversa
Considere a função h(x)=\frac{3 x-2}{x+1}, \operatorname{com} x \neq-1.
(a) Mostre que h é bijetora.
(b) Determine a função inversa h^{-1}(x).

Passo 1

O enunciado define a função
h(x)=\frac{3x-2}{x+1}, \quad x\neq -1.
Queremos mostrar que h é bijetora (injectiva e sobrejectiva, fazendo h\colon\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}\setminus\{3\}) e, em seguida, encontrar h^{-1}(x). Para isso usaremos argumentos de igualdade de frações e resolução algébrica para inverter a fórmula.

Passo 2

Injectividade. Suponha que
h(a)=h(b),
isto é,
\frac{3a-2}{a+1}=\frac{3b-2}{b+1},
com a\neq -1 e b\neq -1. Como a+1\neq0 e b+1\neq0, cruzamos os denominadores:
(3a-2)(b+1)=(3b-2)(a+1).
Expandindo ambos os lados:
3ab +3a -2b -2 = 3ab +3b -2a -2.
Cancelamos 3ab e -2 em cada membro, obtendo
3a -2b = 3b -2a.
Reagrupando termos com a de um lado e com b do outro:
3a +2a = 3b +2b \quad\Longrightarrow\quad 5a = 5b \quad\Longrightarrow\quad a=b.
Logo h é injectiva.

Passo 3

Sobrejectividade. Para achar o conjunto-imagem, tome y=h(x), isto é
y=\frac{3x-2}{x+1}, \quad x\neq -1.
Multiplique ambos os lados por x+1:
y(x+1)=3x-2 \quad\Longrightarrow\quad yx + y = 3x -2 \quad\Longrightarrow\quad yx-3x = -2 - y \quad\Longrightarrow\quad x(y-3) = -(y+2).
Desde que y\neq 3, podemos dividir:
x = -\frac{y+2}{y-3}.
Isso mostra que para todo y\neq 3 existe x\neq -1 tal que h(x)=y. Portanto a imagem de h é \mathbb{R}\setminus\{3\}, e h é sobrejectiva de \mathbb{R}\setminus\{-1\} em \mathbb{R}\setminus\{3\}.

Passo 4

Função inversa. Na expressão
x = -\frac{y+2}{y-3}
trocamos o papel de x e y para obter h^{-1}. Assim, para a variável de entrada denotada ainda por x, temos
h^{-1}(x) = -\frac{x+2}{x-3}, \quad x\neq 3.

Resposta

A função h\colon\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}\setminus\{3\} é bijetora, e sua inversa é
h^{-1}(x) = -\frac{x+2}{x-3}.

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