Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função f(x, y, z)=2 x+2 y+z restritos à x^{2}+y^{2}+z^{2}=1. Se tais pontos existirem, justifique o porquê.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos (máximo e mínimo) da função
f(x,y,z) = 2x + 2y + z
sob a restrição
x^2 + y^2 + z^2 = 1.
O conteúdo é o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos diz para resolver
\nabla f = \lambda \,\nabla g,
onde g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1.

Passo 2

Construímos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda) = 2x + 2y + z - \lambda\,(x^2 + y^2 + z^2 - 1).
As condições necessárias são
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2 - 2\lambda x = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 2 - 2\lambda y = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = 1 - 2\lambda z = 0,
mais a restrição
x^2 + y^2 + z^2 = 1.

Passo 3

Das equações de primeira ordem temos
2 = 2\lambda x \implies x = \frac{1}{\lambda}, \quad 2 = 2\lambda y \implies y = \frac{1}{\lambda}, \quad 1 = 2\lambda z \implies z = \frac{1}{2\lambda}.
Substituindo na restrição:
\Bigl(\frac{1}{\lambda}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{1}{\lambda}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{1}{2\lambda}\Bigr)^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{9}{4\lambda^2} = 1
Logo
\lambda^2 = \frac{9}{4} \quad\implies\quad \lambda = \pm \frac{3}{2}.

Passo 4

Para \lambda = \tfrac{3}{2} obtemos
x = y = \frac{1}{\lambda} = \frac{2}{3}, \quad z = \frac{1}{2\lambda} = \frac{1}{3},
e
f\bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\bigr) = 2\cdot\tfrac{2}{3} + 2\cdot\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{3} = 3.
Para \lambda = -\tfrac{3}{2} obtemos
x = y = -\tfrac{2}{3}, \quad z = -\tfrac{1}{3},
e
f\bigl(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3}\bigr) = -3.

Passo 5

Como a esfera x^2+y^2+z^2=1 é compacta e f é contínua, existe máximo e mínimo global. Encontramos os dois candidatos e seus valores.

Resposta

Máximo global: f_{\max}=3 em \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\bigr).
Mínimo global: f_{\min}=-3 em \bigl(-\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3}\bigr).

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