Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função
restritos à
. Se tais pontos existirem, justifique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos (máximo e mínimo) da função
sob a restrição
O conteúdo é o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos diz para resolver
onde
.
Passo 2
Construímos a função de Lagrange
As condições necessárias são
mais a restrição
Passo 3
Das equações de primeira ordem temos
Substituindo na restrição:
Logo
Passo 4
Para
obtemos
e
Para
obtemos
e
Passo 5
Como a esfera
é compacta e
é contínua, existe máximo e mínimo global. Encontramos os dois candidatos e seus valores.
Resposta
Máximo global:
em
.
Mínimo global: em
.
Mínimo global: