Dadas as funções f(t)=\sin ^{-1}(t) e g(x, y)=\sqrt{1-x-y}, determine a composição f(g(x, y)) e seu domínio.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(t)=\sin^{-1}(t) e g(x,y)=\sqrt{\,1 - x - y\,},
pede a composição f\bigl(g(x,y)\bigr) e seu domínio.
Vamos usar o conceito de composição de funções, além de lembrar que
  1. A raiz \sqrt{\,\cdot\,} exige o radicando não negativo.
  2. A função \sin^{-1}(t) só está definida para -1 \le t \le 1.

Passo 2

Para obter a expressão de f\bigl(g(x,y)\bigr), substituímos t=g(x,y) em f(t). Logo,
f\bigl(g(x,y)\bigr) = \sin^{-1}\bigl(\sqrt{\,1 - x - y\,}\bigr).

Passo 3

Determinamos o domínio impondo as condições de existência de g e de f. Primeiro, para g(x,y)=\sqrt{1 - x - y} ser real, é necessário
1 - x - y \;\ge\; 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x + y \;\le\; 1.

Passo 4

Em seguida, o argumento de \sin^{-1} deve satisfazer
-1 \;\le\;\sqrt{\,1 - x - y\,}\;\le\;1.
Como \sqrt{\,1 - x - y\,}\ge0 sempre, basta exigir
\sqrt{\,1 - x - y\,}\;\le\;1 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 - x - y \;\le\;1 \quad\Longleftrightarrow\quad x + y \;\ge\;0.

Passo 5

Combinando as duas desigualdades sobre x+y, obtemos
0 \;\le\; x + y \;\le\;1.
Portanto, o domínio da composição é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \le x + y \le 1\}.

Resposta

A composição é
f\bigl(g(x,y)\bigr) = \sin^{-1}\bigl(\sqrt{1 - x - y}\bigr),
e seu domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \le x + y \le 1\}.

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