Seja f(t)=e^{t} e g(x, y)=y \ln x. Determine a composição f(g(x, y)) e seu domínio.

Passo 1

O enunciado pede a composição das funções
f(t)=e^{t}
e
g(x,y)=y\ln x,
isto é, calcular f\bigl(g(x,y)\bigr) e determinar o domínio dessa função composta. Vamos usar propriedades de exponenciais e logaritmos e analisar onde cada função está bem definida.

Passo 2

Por definição da composição,
(f\circ g)(x,y)=f\bigl(g(x,y)\bigr)=e^{\,g(x,y)}=e^{\,y\ln x}.

Passo 3

Para simplificar usamos a identidade
e^{\,y\ln x}=\bigl(e^{\ln x}\bigr)^{y}=x^{y}.
Logo,
(f\circ g)(x,y)=x^{y}.

Passo 4

O domínio é o conjunto de (x,y) tais que g(x,y) está definido e f pode receber esse valor. Como
g(x,y)=y\ln x
exige \ln x definido, temos x>0, e y pode ser qualquer real. A função f(t)=e^t aceita todo t\in\mathbb{R}, então não impõe restrição extra.

Resposta

(f\circ g)(x,y)=x^{y}, \quad \text{Domínio}=\{(x,y)\mid x>0,\;y\in\mathbb{R}\}.í

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