Encontre o limite.
lim _{r \rightarrow \infty} \frac{r^{4}-r^{2}+1}{r^{3}+r^{3}-r}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{r\rightarrow\infty}\frac{r^{4}-r^{2}+1}{r^{3}+r^{3}-r}.
Informações dadas: temos um quociente de polinômios em r. Notei que o denominador pode ser simplificado algébrica-mente como r^{3}+r^{3}-r=2r^{3}-r. O que precisamos determinar é o comportamento dessa fração quando r cresce sem limite (isto é, r\to\infty).

Passo 2

Estratégia (técnica que vamos usar): quando temos limite de quociente de polinômios para r\to\infty, é útil dividir numerador e denominador por uma potência de r igual ao maior expoente do denominador (ou do numerador). Isso reduz a expressão a termos com potências negativas que tendem a zero, deixando apenas os termos dominantes. Aqui o maior expoente no denominador é 3, então vamos dividir tudo por r^{3}.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por r^{3} obtemos
\frac{r^{4}-r^{2}+1}{2r^{3}-r} = \frac{\dfrac{r^{4}}{r^{3}}-\dfrac{r^{2}}{r^{3}}+\dfrac{1}{r^{3}}}{\dfrac{2r^{3}}{r^{3}}-\dfrac{r}{r^{3}}} = \frac{r-\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r^{3}}}{2-\dfrac{1}{r^{2}}}.
Cada passo de divisão foi feito termo a termo: por exemplo, \dfrac{r^{4}}{r^{3}}=r, \dfrac{r^{2}}{r^{3}}=\dfrac{1}{r}, etc.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento quando r\to\infty. Sabemos que termos do tipo \dfrac{1}{r}, \dfrac{1}{r^{2}}, \dfrac{1}{r^{3}} tendem a 0 quando r\to\infty. Aplicando isso na expressão simplificada,
\frac{r-\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r^{3}}}{2-\dfrac{1}{r^{2}}}
os termos com potências negativas desaparecem no limite, ficando essencialmente
\frac{r+0+0}{2-0}=\frac{r}{2}.
Observação sobre \dfrac{r}{2}: à medida que r cresce sem limite, \dfrac{r}{2} também cresce sem limite (é proporcional a r). Logo, a expressão original se comporta como \dfrac{r}{2} para r grande, ou seja, ela aumenta sem bound quando r\to\infty.

Resposta

+\infty

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