Encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas: temos um quociente de polinômios em
. Notei que o denominador pode ser simplificado algébrica-mente como
. O que precisamos determinar é o comportamento dessa fração quando
cresce sem limite (isto é,
).
Passo 2
Estratégia (técnica que vamos usar): quando temos limite de quociente de polinômios para
, é útil dividir numerador e denominador por uma potência de
igual ao maior expoente do denominador (ou do numerador). Isso reduz a expressão a termos com potências negativas que tendem a zero, deixando apenas os termos dominantes. Aqui o maior expoente no denominador é
, então vamos dividir tudo por
.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Cada passo de divisão foi feito termo a termo: por exemplo,
,
, etc.
Passo 4
Agora analisamos o comportamento quando
. Sabemos que termos do tipo
,
,
tendem a
quando
. Aplicando isso na expressão simplificada,
os termos com potências negativas desaparecem no limite, ficando essencialmente
Observação sobre
: à medida que
cresce sem limite,
também cresce sem limite (é proporcional a
). Logo, a expressão original se comporta como
para
grande, ou seja, ela aumenta sem bound quando
.