Encontre o limite.
lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2}+4 x}}{4 x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x cresce sem bound:
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+4x}}{4x+1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão tem uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}+4x} no numerador e um polinômio 4x+1 no denominador.
  • Estamos interessados no comportamento quando x tende para +\infty (grandes valores de x).
  • A raiz quadrada produz sempre um número não negativo; para x grande e positivo, |x|=x.
    Nada mais será resolvido neste passo — só identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Estratégia técnica (sem entrar em tópicos avançados): para limites em x\to\infty é útil “fatorar” a maior potência de x presente no interior da raiz e depois simplificar o quociente. Vou fazer isso passo a passo, mostrando todas as manipulações algébricas.
Começo manipulando o numerador para deixar explícita a dependência em x:
\sqrt{x^{2}+4x}=\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{4}{x}\right)}.
Como regra de radiciação, \sqrt{x^{2}}=|x|. Portanto:
\sqrt{x^{2}+4x}=|x|\sqrt{1+\frac{4}{x}}.

Passo 3

Agora use o fato de que estamos tomando x\to\infty, ou seja x é grande e positivo — para números positivos |x|=x. Substituindo isso no quociente:
\frac{\sqrt{x^{2}+4x}}{4x+1}=\frac{x\sqrt{1+\frac{4}{x}}}{4x+1}.
Divido numerador e denominador por x (isso é permitido para x\neq 0, e aqui estamos em x\to\infty):
\frac{x\sqrt{1+\frac{4}{x}}}{4x+1}=\frac{\sqrt{1+\frac{4}{x}}}{4+\frac{1}{x}}.

Passo 4

Agora aplico as propriedades de limites e a continuidade das funções envolvidas. A função \sqrt{\cdot} é contínua em 1, e 1/x\to 0 quando x\to\infty. Assim:
\lim_{x\to\infty}\sqrt{1+\frac{4}{x}}=\sqrt{1+0}=\sqrt{1}=1,
e
\lim_{x\to\infty}\left(4+\frac{1}{x}\right)=4+0=4.
Como o limite do denominador é diferente de zero, o limite do quociente é o quociente dos limites (regra do limite de uma razão):
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{4}{x}}}{4+\frac{1}{x}}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Comentário final e intuição rápida: uma maneira informal de ver isso é notar que, para x grande,
\sqrt{x^{2}+4x} se comporta como x (pois os termos de menor ordem não mudam a ordem dominante), e 4x+1 se comporta como 4x; portanto a razão tende para \dfrac{x}{4x}=\dfrac{1}{4}. Isso confirma o resultado acima.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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