Encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
cresce sem bound:
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão tem uma raiz quadrada
no numerador e um polinômio no denominador. - Estamos interessados no comportamento quando
tende para (grandes valores de ). - A raiz quadrada produz sempre um número não negativo; para
grande e positivo, .
Nada mais será resolvido neste passo — só identifiquei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Estratégia técnica (sem entrar em tópicos avançados): para limites em
é útil “fatorar” a maior potência de
presente no interior da raiz e depois simplificar o quociente. Vou fazer isso passo a passo, mostrando todas as manipulações algébricas.
Começo manipulando o numerador para deixar explícita a dependência em
:
Como regra de radiciação,
. Portanto:
Passo 3
Agora use o fato de que estamos tomando
, ou seja
é grande e positivo — para números positivos
. Substituindo isso no quociente:
Divido numerador e denominador por
(isso é permitido para
, e aqui estamos em
):
Passo 4
Agora aplico as propriedades de limites e a continuidade das funções envolvidas. A função
é contínua em
, e
quando
. Assim:
e
Como o limite do denominador é diferente de zero, o limite do quociente é o quociente dos limites (regra do limite de uma razão):
Passo 5
Comentário final e intuição rápida: uma maneira informal de ver isso é notar que, para
grande,
se comporta como
(pois os termos de menor ordem não mudam a ordem dominante), e
se comporta como
; portanto a razão tende para
. Isso confirma o resultado acima.