Calcule:
\int x^{2} \cdot \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x^{2}\,\ln(x)\,dx
Aqui vamos usar a técnica de integração por partes, pois temos o produto de x^{2} (fácil de integrar) por \ln(x) (fácil de derivar).

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(x), \quad dv = x^{2}\,dx.
A ideia é derivar u (aqui fica mais simples) e integrar dv.

Passo 3

Calculamos
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\text{e}\quad v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
recebemos
\int x^{2}\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\,\ln(x) - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 5

No segundo termo simplificamos e integramos:
\int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{9}.
Substituindo de volta,
\int x^{2}\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{x^{3}}{9} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}\ln(x)\;-\;\frac{x^{3}}{9}\;+\;C

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