Determine o comprimento de arco da curva.
\vec{r}(t)=(3 t+1) \vec{i}+(t+2) \vec{j}, para t \in[0,1]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por \vec{r}(t)=(3t+1)\,\vec{i}+(t+2)\,\vec{j} para t\in[0,1].
O conteúdo aplicado é a fórmula do comprimento de arco de uma curva no plano:
s=\int_{a}^{b}\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert\,dt.

Passo 2

Calculamos o vetor velocidade \vec{r}\,'(t), isto é, a derivada de cada componente de \vec{r}(t):
\vec{r}\,'(t)=\frac{d}{dt}\bigl[(3t+1)\,\vec{i}+(t+2)\,\vec{j}\bigr] =3\,\vec{i}+1\,\vec{j}.

Passo 3

Determinamos a norma de \vec{r}\,'(t). Como a derivada é constante,
\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert =\sqrt{3^{2}+1^{2}} =\sqrt{10}.

Passo 4

Substituímos na integral de comprimento de arco:
s=\int_{0}^{1}\bigl\lVert \vec{r}\,'(t)\bigr\rVert\,dt =\int_{0}^{1}\sqrt{10}\,dt =\sqrt{10}\,\Bigl[t\Bigr]_{0}^{1} =\sqrt{10}.

Resposta

\sqrt{10}

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