Determine o comprimento de arco da curva.
\vec{r}(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \operatorname{sen} t, e^{t}\right), 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
\vec{r}(t) = \bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t,\;e^{t}\bigr)
no intervalo 0\le t\le1.
O conteúdo é comprimento de arco de curva parametrizada e vamos usar a fórmula
L = \int_{a}^{b} \|\vec{r}\,'(t)\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
\vec{r}\,'(t) = \bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr) = \bigl(e^{t}\cos t - e^{t}\sin t,\;e^{t}\sin t + e^{t}\cos t,\;e^{t}\bigr).

Passo 3

Agora achamos a norma de \vec{r}\,'(t):
\|\vec{r}\,'(t)\| = \sqrt{\bigl(e^{t}(\cos t-\sin t)\bigr)^{2} +\bigl(e^{t}(\sin t+\cos t)\bigr)^{2} +\bigl(e^{t}\bigr)^{2}}.
Fatorando e^{2t} e somando os quadrados internos:
(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}+1 = \bigl(1-2\sin t\cos t\bigr)+\bigl(1+2\sin t\cos t\bigr)+1 =3.
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\|\vec{r}\,'(t)\| = \sqrt{3\,e^{2t}} = \sqrt{3}\,e^{t}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do comprimento de arco:
L = \int_{0}^{1} \|\vec{r}\,'(t)\|\,dt = \int_{0}^{1} \sqrt{3}\,e^{t}\,dt = \sqrt{3}\,\bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{1} = \sqrt{3}\,(\,e-1\,).

Resposta

\displaystyle \sqrt{3}\,(e-1)

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