6-Numa determinada cultura de bactérias cuja população é N, a taxa de crescimento populacional diretamente proporcional a quantidade presente no instante t. Demonstre através do calculo integral a função da população bacteriana N(t) para cada instante t. ( \mathbf{2 , 0} pontos)

Passo 1

O enunciado diz que a taxa de crescimento da população N de bactérias é diretamente proporcional à própria população no instante t. Isso caracteriza um modelo de crescimento exponencial, cuja equação diferencial básica é
\frac{dN}{dt} = k\,N,
onde k é a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento). Vamos resolver essa equação usando cálculo integral.

Passo 2

Reescrevemos a equação diferencial de modo a separar as variáveis N e t. Dividindo ambos os lados por N e multiplicando por dt, obtemos
\frac{dN}{N} = k\,dt.

Passo 3

Agora integramos os dois lados da igualdade. À esquerda, integramos em relação a N; à direita, em relação a t:
\int \frac{dN}{N} \;=\;\int k\,dt.

Passo 4

Calculando as integrais, temos
\ln\bigl|N\bigr| = k\,t + C,
onde C é a constante de integração. Em seguida, exponenciamos para isolar N:
N(t) = e^{\,k t + C} = e^{C}\,e^{k t}.
Chamando e^{C} de N_{0}, que corresponde à população inicial em t=0, obtemos a solução geral do modelo.

Passo 5

Impondo a condição inicial N(0)=N_{0}, confirma-se que a constante que apareceu ao exponenciar é justamente N_{0}. Portanto, a solução para cada instante t fica
N(t) = N_{0}\,e^{k t}.

Resposta

A população de bactérias no instante t é dada por
N(t) = N_{0}\,e^{k t},
onde N_{0}=N(0) é a população inicial e k a taxa de crescimento.

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