Verdadeiro ou falso:
\int_{1}^{2} 2 x^{3} \cdot e^{x^{2}} d x=4 e^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\int_{1}^{2} 2x^{3}e^{x^{2}}\,dx = 4e^{3}.
O conteúdo envolve técnica de substituição simples e, em seguida, integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2},\quad du = 2x\,dx.
Como 2x^{3}e^{x^{2}}\,dx = x^{2}\,e^{u}\,(2x\,dx) = u\,e^{u}\,du e, quando x=1, u=1; quando x=2, u=4, a integral vira
\int_{1}^{2}2x^{3}e^{x^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=4}u\,e^{u}\,du.

Passo 3

Para calcular
\int u\,e^{u}\,du
usamos integração por partes, escolhendo f = u e dg = e^{u}du. Então
\int u\,e^{u}\,du = u\,e^{u} - \int 1\cdot e^{u}\,du = u\,e^{u} - e^{u} + C = (u-1)e^{u} + C.

Passo 4

Aplicando os limites de u=1 a u=4:
\Bigl[(u-1)e^{u}\Bigr]_{1}^{4} = (4-1)e^{4} - (1-1)e^{1} = 3e^{4} - 0 = 3e^{4}.

Passo 5

Comparando o resultado 3e^{4} com o valor proposto 4e^{3}, vemos que
3e^{4} \neq 4e^{3}.
Portanto, a igualdade dada é falsa.

Resposta

Falso.

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