Calcule:
\int(2 x-1) \cdot e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int(2x-1)\,e^{x}\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de um polinômio linear 2x-1 por uma função exponencial e^{x}. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=(2x-1)e^{x}. Não há condições iniciais; a resposta deverá conter a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método. Duas ideias naturais:
  • Usar linearidade da integral para separar termos e depois aplicar integração por partes em \int x e^{x}dx.
  • Usar uma tentativa direta: procurar uma primitiva da forma (ax+b)e^{x} e achar a e b por comparação (método rápido para produtos polinômio·exponencial).
Vou apresentar a solução com integração por partes (método básico e sistemático) e depois mostrar a alternativa rápida para você ter as duas ferramentas na prova.

Passo 3

Aplicando a linearidade da integral:
\int(2x-1)\,e^{x}\,dx = 2\int x\,e^{x}\,dx - \int e^{x}\,dx.
Explicando: a integral de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das integrais, e constantes podem sair da integral. Aqui separamos o termo 2x e o termo -1.

Passo 4

Fórmula de integração por partes. Essa fórmula vem de “inverter” a regra do produto. Se u=u(x) e v=v(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
Integrando ambos os lados e isolando a integral \int u\,v'\,dx obtemos a fórmula
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde du=u'(x)\,dx e dv=v'(x)\,dx. Na prática, escolhe-se u como algo que simplifica quando derivado e dv como algo fácil de integrar.

Passo 5

Aplicar integração por partes em \int x\,e^{x}\,dx. Escolhas naturais:
u=x \quad\Rightarrow\quad du=dx, \qquad dv=e^{x}\,dx \quad\Rightarrow\quad v=e^{x}.
Usando a fórmula:
\int x\,e^{x}\,dx = u v - \int v\,du = x e^{x} - \int e^{x}\,dx.
E sabemos que \int e^{x}\,dx = e^{x}. Portanto
\int x\,e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C_1.

Passo 6

Voltar à expressão da Passo 3:
2\int x\,e^{x}\,dx - \int e^{x}\,dx = 2\big(x e^{x} - e^{x}\big) - e^{x} + C.
Desenvolvendo e agrupando termos semelhantes:
2x e^{x} - 2 e^{x} - e^{x} + C = 2x e^{x} - 3 e^{x} + C.
Fatorando e^{x}:
e^{x}(2x-3) + C.

Passo 7

Atalho (método da ansatz) — forma alternativa e rápida para prova. Procurar uma primitiva da forma (a x+b)e^{x}. Calcule a derivada:
\frac{d}{dx}\big((a x+b)e^{x}\big) = (a x+b)e^{x} + a e^{x} = (a x + a + b)e^{x}.
Queremos que isso seja igual a (2x-1)e^{x}. Assim, comparar coeficientes no fator que multiplica e^{x}:
a x + a + b = 2x -1.
Comparando coeficiente de x: a=2. Comparando termos constantes: a+b=-1 então 2+b=-1 e b=-3. Logo a primitiva é (2x-3)e^{x}+C, igual ao resultado anterior.

Resposta

e^{x}(2x-3)+C

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