Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de um polinômio linear
por uma função exponencial
. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há condições iniciais; a resposta deverá conter a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método. Duas ideias naturais:
- Usar linearidade da integral para separar termos e depois aplicar integração por partes em
. - Usar uma tentativa direta: procurar uma primitiva da forma
e achar e por comparação (método rápido para produtos polinômio·exponencial).
Vou apresentar a solução com integração por partes (método básico e sistemático) e depois mostrar a alternativa rápida para você ter as duas ferramentas na prova.
Passo 3
Aplicando a linearidade da integral:
Explicando: a integral de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das integrais, e constantes podem sair da integral. Aqui separamos o termo
e o termo
.
Passo 4
Fórmula de integração por partes. Essa fórmula vem de “inverter” a regra do produto. Se
e
são diferenciáveis, então
Integrando ambos os lados e isolando a integral
obtemos a fórmula
onde
e
. Na prática, escolhe-se
como algo que simplifica quando derivado e
como algo fácil de integrar.
Passo 5
Aplicar integração por partes em
. Escolhas naturais:
Usando a fórmula:
E sabemos que
. Portanto
Passo 6
Voltar à expressão da Passo 3:
Desenvolvendo e agrupando termos semelhantes:
Fatorando
:
Passo 7
Atalho (método da ansatz) — forma alternativa e rápida para prova. Procurar uma primitiva da forma
. Calcule a derivada:
Queremos que isso seja igual a
. Assim, comparar coeficientes no fator que multiplica
:
Comparando coeficiente de
:
. Comparando termos constantes:
então
e
. Logo a primitiva é
, igual ao resultado anterior.