Sejam
dois campos vetoriais,
um campo escalar e
. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado dá:
- Dois campos vetoriais
. - Um escalar
.
O que se pede: provar a identidade
Informações relevantes a usar (implícitas): para que
exista, assumimos que as componentes de
e
possuem derivadas parciais contínuas (por exemplo, são
em
).
Passo 2
Escrevemos as componentes dos campos: seja
Então a combinação linear tem componentes
Passo 3
Relembrando a definição componente a componente da rotacional (curl) em coordenadas cartesianas:
para
.
Também usamos a propriedade linear dos operadores de derivada parcial: para funções com derivadas parciais,
Também usamos a propriedade linear dos operadores de derivada parcial: para funções
porque constantes saem da derivada e a derivada de soma é soma de derivadas (isso decorre diretamente da definição limite da derivada parcial).
Passo 4
Calculemos a primeira componente de
. Pela definição,
Passo 5
Calculemos a segunda componente:
Passo 6
Calculemos a terceira componente:
Passo 7
Como cada componente de
é a combinação linear correspondente das componentes de
e
, concluímos a igualdade vetorial: