Sejam \vec{F}, \vec{G}: U \subset \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dois campos vetoriais, \varphi: U \rightarrow \mathbb{R} um campo escalar e a, b \in \mathbb{R}. Prove que:
\operatorname{rot}(a \vec{F}+b \vec{G})=a \operatorname{rot}(\vec{F})+b \operatorname{rot}(\vec{G}).

Passo 1

O enunciado dá:
  • Dois campos vetoriais \vec{F},\vec{G}:U\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3.
  • Um escalar a,b\in\mathbb{R}.
    O que se pede: provar a identidade
\operatorname{rot}\bigl(a\vec{F}+b\vec{G}\bigr)=a\,\operatorname{rot}(\vec{F})+b\,\operatorname{rot}(\vec{G}).
Informações relevantes a usar (implícitas): para que \operatorname{rot} exista, assumimos que as componentes de \vec{F} e \vec{G} possuem derivadas parciais contínuas (por exemplo, são C^1 em U).

Passo 2

Escrevemos as componentes dos campos: seja
\vec{F}=(F_1,F_2,F_3),\qquad \vec{G}=(G_1,G_2,G_3).
Então a combinação linear tem componentes
a\vec{F}+b\vec{G}=(aF_1+bG_1,\;aF_2+bG_2,\;aF_3+bG_3).

Passo 3

Relembrando a definição componente a componente da rotacional (curl) em coordenadas cartesianas:
\operatorname{rot}(\vec{H})=\Bigl(\frac{\partial H_3}{\partial y}-\frac{\partial H_2}{\partial z},\; \frac{\partial H_1}{\partial z}-\frac{\partial H_3}{\partial x},\; \frac{\partial H_2}{\partial x}-\frac{\partial H_1}{\partial y}\Bigr)
para \vec{H}=(H_1,H_2,H_3).
Também usamos a propriedade linear dos operadores de derivada parcial: para funções f,g com derivadas parciais,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(a f + b g\bigr)=a\frac{\partial f}{\partial x}+b\frac{\partial g}{\partial x},
porque constantes saem da derivada e a derivada de soma é soma de derivadas (isso decorre diretamente da definição limite da derivada parcial).

Passo 4

Calculemos a primeira componente de \operatorname{rot}\bigl(a\vec{F}+b\vec{G}\bigr). Pela definição,
\begin{aligned} \bigl[\operatorname{rot}(a\vec{F}+b\vec{G})\bigr]_1 &=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(aF_3+bG_3\bigr)-\frac{\partial}{\partial z}\bigl(aF_2+bG_2\bigr)\\[4pt] &=a\frac{\partial F_3}{\partial y}+b\frac{\partial G_3}{\partial y} -\bigl(a\frac{\partial F_2}{\partial z}+b\frac{\partial G_2}{\partial z}\bigr)\\[4pt] &=a\Bigl(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\Bigr) +b\Bigl(\frac{\partial G_3}{\partial y}-\frac{\partial G_2}{\partial z}\Bigr)\\[4pt] &=a\,[\operatorname{rot}(\vec{F})]_1 + b\,[\operatorname{rot}(\vec{G})]_1. \end{aligned}]

Passo 5

Calculemos a segunda componente:
\begin{aligned} \bigl[\operatorname{rot}(a\vec{F}+b\vec{G})\bigr]_2 &=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(aF_1+bG_1\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(aF_3+bG_3\bigr)\\[4pt] &=a\frac{\partial F_1}{\partial z}+b\frac{\partial G_1}{\partial z} -\bigl(a\frac{\partial F_3}{\partial x}+b\frac{\partial G_3}{\partial x}\bigr)\\[4pt] &=a\Bigl(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\Bigr) +b\Bigl(\frac{\partial G_1}{\partial z}-\frac{\partial G_3}{\partial x}\Bigr)\\[4pt] &=a\,[\operatorname{rot}(\vec{F})]_2 + b\,[\operatorname{rot}(\vec{G})]_2. \end{aligned}]

Passo 6

Calculemos a terceira componente:
\begin{aligned} \bigl[\operatorname{rot}(a\vec{F}+b\vec{G})\bigr]_3 &=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(aF_2+bG_2\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(aF_1+bG_1\bigr)\\[4pt] &=a\frac{\partial F_2}{\partial x}+b\frac{\partial G_2}{\partial x} -\bigl(a\frac{\partial F_1}{\partial y}+b\frac{\partial G_1}{\partial y}\bigr)\\[4pt] &=a\Bigl(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr) +b\Bigl(\frac{\partial G_2}{\partial x}-\frac{\partial G_1}{\partial y}\Bigr)\\[4pt] &=a\,[\operatorname{rot}(\vec{F})]_3 + b\,[\operatorname{rot}(\vec{G})]_3. \end{aligned}]

Passo 7

Como cada componente de \operatorname{rot}(a\vec{F}+b\vec{G}) é a combinação linear correspondente das componentes de \operatorname{rot}(\vec{F}) e \operatorname{rot}(\vec{G}), concluímos a igualdade vetorial:
\operatorname{rot}\bigl(a\vec{F}+b\vec{G}\bigr)=a\,\operatorname{rot}(\vec{F})+b\,\operatorname{rot}(\vec{G}).

Resposta

\operatorname{rot}(a \vec{F}+b \vec{G})=a \operatorname{rot}(\vec{F})+b \operatorname{rot}(\vec{G})

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