Seja S a parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} abaixo do plano z=5 e seja F=z \mathbf{k}. Calcule \iint_{S} F d S.
Passo 1
O enunciado dá:
A superfície S é "a parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} abaixo do plano z=5". Ou seja, S é a porção do gráfico de z=f(x,y)=x^{2}+y^{2} para os pontos onde x^{2}+y^{2}\le 5.
O campo vetorial é F=z\,\mathbf{k}. Em componentes: F(x,y,z)=(0,0,z).
Pede-se calcular \displaystyle \iint_{S} F\,dS.
Informações relevantes extraídas:
A projeção de S no plano xy é o disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 5\}.
Em S vale z=x^{2}+y^{2}, então ao restringir F a S temos F|_{S}=(0,0,x^{2}+y^{2}).
Passo 2
Entendendo o tipo de integral: quando aparece \iint_{S}F\,dS com F vetorial, a interpretação padrão em cálculo vetorial é a integral de fluxo (ou integral de superfície) que produz um escalar se escrita como \iint_{S}F\cdot\mathbf{n}\,dS, ou como integral vetorial se usar o vetor superfície \mathbf{dS}=\mathbf{n}\,dS. Aqui vou calcular o fluxo de F através de S com a orientação padrão para gráficos z=f(x,y): a normal apontando para cima (com componente z positiva). Essa escolha é a mais comum quando nada é especificado.
Fórmula útil (vamos explicar por quê): para uma superfície dada por z=f(x,y) com orientação para cima, o vetor elemento de área é
\mathbf{dS}=(-f_x,-f_y,1)\,dA,
onde f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}, f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y} e dA é o elemento de área no plano xy. Explicação rápida: o vetor não-unitário (-f_x,-f_y,1) é proporcional ao produto \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y (o qual dá direção e área infinitesimal projetada), e orienta-se para cima quando o último componente é positivo.
Observação didática: deu uma grande simplificação porque os componentes horizontais de F são zero, então só ficou o componente vertical multiplicando 1 do vetor (-f_x,-f_y,1).
Logo a integral de fluxo reduz-se à integral dupla sobre o disco D:
Passando para coordenadas polares (explicando por que): o domínio D é um disco centrado na origem, e x^{2}+y^{2} é radial. Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, com r\ge 0 e 0\le\theta<2\pi. O jacobiano (elemento de área) é dA=r\,dr\,d\theta. Além disso x^{2}+y^{2}=r^{2}. Portanto o integrando vira r^{2} e o dA contribui um fator r, ficando integrando r^{3}.
Os limites: como x^{2}+y^{2}\le 5, temos 0\le r\le \sqrt{5} e 0\le\theta\le 2\pi.
Não simplifico mais nesta etapa; o próximo bloco traz a resposta final simplificada.
Passo 7
Interpretação e verificação rápida: a integral representou o fluxo de um campo vertical F=z\mathbf{k} através da parte de cima do paraboloide; por simetria as componentes horizontais do fluxo são nulas e o cálculo reduziu-se a uma integral radial simples. Os sinais estão coerentes pois escolhemos a normal apontando para cima (componente z positiva).