Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{3 y} ; y(5)=6

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3y}
com condição inicial y(5)=6. O método apropriado é separar variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Separamos as variáveis para ter termos em y de um lado e em x do outro:
3y\,dy = 2x\,dx.
Agora integramos os dois lados:
\int 3y\,dy = \int 2x\,dx.

Passo 3

Calculando as integrais, obtemos
\frac{3}{2}y^2 = x^2 + C,
onde C é constante de integração. Para determinar C, usamos y(5)=6:
\frac{3}{2}\,(6)^2 = (5)^2 + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{2}\cdot 36 = 25 + C \quad\Longrightarrow\quad 54 = 25 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 29.

Passo 4

Substituindo C=29 de volta e isolando y, temos
\frac{3}{2}y^2 = x^2 + 29 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = \frac{2}{3}\,(x^2+29) \quad\Longrightarrow\quad y = \pm \sqrt{\frac{2}{3}\,(x^2+29)}.
Como a condição inicial dá y(5)=6>0, escolhemos o ramo positivo.

Resposta

y(x) = \sqrt{\tfrac{2}{3}\,\bigl(x^2+29\bigr)}.

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