Calcule.
(\int_{0}^{1} x e^{x} d x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx
e o conteúdo principal aqui é a integração por partes.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 3

Escolhemos
u = x,\quad dv = e^{x}\,dx,
logo
du = dx,\quad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Portanto, a integral indefinida fica
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C.

Passo 4

Agora aplicamos os limites de 0 a 1:
\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx = \bigl[x e^{x} - e^{x}\bigr]_{0}^{1} = \bigl(1\cdot e^{1} - e^{1}\bigr) - \bigl(0\cdot e^{0} - e^{0}\bigr) = (e - e) - (0 - 1) = 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados