Calcule a integral definida dada usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{2} x\left(2+x^{5}\right) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral definida de 0 a 2 de
x\bigl(2 + x^{5}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é cálculo de integral definida e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, expandimos o integrando usando propriedade distributiva:
x\bigl(2 + x^{5}\bigr)=2x + x^{6}.

Passo 3

Agora, encontramos uma antiderivada F(x) de cada termo. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
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– a antiderivada de 2x é x^{2},
– a antiderivada de x^{6} é \tfrac{x^{7}}{7}.
Portanto,
F(x)=x^{2} + \frac{x^{7}}{7}.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos F(x) nos pontos 0 e 2:
\int_{0}^{2}x\bigl(2+x^{5}\bigr)\,dx =F(2)-F(0) =\Bigl(2^{2}+\frac{2^{7}}{7}\Bigr)-\Bigl(0^{2}+\frac{0^{7}}{7}\Bigr) =4 + \frac{128}{7}.
Reunindo em uma única fração:
4 + \frac{128}{7} =\frac{28}{7} + \frac{128}{7} =\frac{156}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{156}{7}

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