Resolva, via escalonamento, os sistemas abaixo:
\left\{\begin{array}{l}5 x-2 y+3 z=2 \\\\ 3 x+y+4 z=-1 \\\\ 4 x-3 y+z=3\end{array}\right.

Passo 1

O exercício pede para resolver, por escalonamento (eliminação de Gauss), o sistema
\begin{cases} 5x - 2y + 3z = 2,\\\\ 3x + y + 4z = -1,\\\\ 4x - 3y + z = 3. \end{cases}
O conteúdo é solução de sistemas lineares por operações elementares em linhas. Vamos montar a matriz aumentada, usar pivô em cada etapa para zerar abaixo e determinar as soluções (possivelmente em função de parâmetro).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & -2 & 3 & 2\\\\ 3 & 1 & 4 & -1\\\\ 4 & -3 & 1 & 3 \end{array}\right).

Passo 3

Usamos o elemento 5 da primeira linha como pivô e zeramos a coluna x nas linhas 2 e 3:
- Linha 2 \leftarrow Linha 2 -\tfrac{3}{5},Linha 1
- Linha 3 \leftarrow Linha 3 -\tfrac{4}{5},Linha 1
Fazendo as contas, obtemos a matriz:
\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & -2 & 3 & 2\\\\ 0 & \tfrac{11}{5} & \tfrac{11}{5} & -\tfrac{11}{5}\\\\ 0 & -\tfrac{7}{5} & -\tfrac{7}{5} & \tfrac{7}{5} \end{array}\right).

Passo 4

Podemos simplificar cada uma das linhas 2 e 3 multiplicando por \tfrac{5}{11}\) e \(-\tfrac{5}{7}\), respectivamente, para ver as equações: \[\begin{cases} \text{(Linha 2)}\;\;y + z = -1,\\\ \text{(Linha 3)}\;\;y + z = -1. \end{cases}
Observamos que as duas linhas dão a mesma equação (y+z=-1]. Logo, temos apenas duas equações independentes para três incógnitas — haverá infinitas soluções com um parâmetro livre.

Passo 5

Escolhemos z como parâmetro, digamos z = \lambda. Da equação y+z=-1 vem
y = -1 - \lambda.
Para achar x, usamos a primeira equação original 5x - 2y + 3z = 2. Substituindo y e z:
5x - 2(-1-\lambda) + 3\lambda = 2 \;\Longrightarrow\; 5x + 2 + 2\lambda + 3\lambda = 2 \;\Longrightarrow\; 5x + 5\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; x = -\lambda.

Resposta

A solução geral do sistema é
(x,y,z) = \bigl(-\lambda,\,-1 - \lambda,\;\lambda\bigr), \quad \lambda \in \mathbb{R}.

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