Determine, se possível, as constantes a e b \in \mathbb{R} de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto x_{o}, sendo:
g(x)=\left\{\begin{array}{l}a x^{2}+2, x \neq 1 \\\ a^{2}, x=1\end{array} \quad\left(x_{o}=1\right)\right.

Passo 1

O enunciado pede que a função g\) seja contínua no ponto \(x_{o}=1\). As informações dadas são: - A função é definida por partes: \[g(x)=\begin{cases} a x^{2}+2, & x\neq 1,\\[4pt] a^{2}, & x=1. \end{cases}
  • É preciso determinar as constantes (nota: só aparece a no enunciado) de modo que g\] seja contínua em \(x_{o}=1.]

Passo 2

Lembrete (definição de continuidade num ponto): uma função g é contínua em x_{o} se, e somente se,
\lim_{x\to x_{o}} g(x)=g(x_{o}).
Isto quer dizer que o valor do limite quando x se aproxima de x_{o} deve ser igual ao valor que a função assume exatamente em x_{o}.

Passo 3

Vamos calcular o limite lateral comum \lim_{x\to 1} g(x). Como a definição por partes dá g(x)=a x^{2}+2 para x\neq1, o limite pedido é o limite da expressão a x^{2}+2 quando x\to1:
\lim_{x\to 1} g(x)=\lim_{x\to 1}\bigl(a x^{2}+2\bigr).
Polinômios são funções contínuas: para qualquer polinômio p(x) vale \lim_{x\to c}p(x)=p\text{(c)}. Assim, aplicando a substituição direta:
\lim_{x\to 1}\bigl(a x^{2}+2\bigr)=a\cdot 1^{2}+2=a+2.

Passo 4

O valor da função no ponto x=1 é dado na definição por partes:
g(1)=a^{2}.

Passo 5

Pela definição de continuidade (Passo 2) devemos ter
\lim_{x\to 1} g(x)=g(1).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
a+2=a^{2}.
Reorganizando para formar uma equação quadrática:
a^{2}-a-2=0.

Passo 6

Vamos resolver a equação quadrática \,a^{2}-a-2=0. Procuramos dois números cujo produto é -2 e cuja soma é -1. Esses números são -2 e 1, portanto a fatoração é
a^{2}-a-2=(a-2)(a+1).
Logo as soluções são as raízes dos fatores:
a-2=0\quad\Rightarrow\quad a=2,
a+1=0\quad\Rightarrow\quad a=-1.

Passo 7

Verificação rápida:
  • Para a=2: \lim_{x\to1}g(x)=2+2=4 e g(1)=2^{2}=4. Igualdade satisfeita.
  • Para a=-1: \lim_{x\to1}g(x)=-1+2=1 e g(1)=(-1)^{2}=1. Igualdade satisfeita.
Portanto, para esses valores de a a função é contínua em x_{o}=1.

Resposta

a=2
a=-1

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