Calcule:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x}\left(x y+y^{3}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\bigl(xy + y^{3}\bigr)\,dy\,dx.
Isso é um caso de integral iterada sobre a região triangular 0\le y\le x\le1. Vamos primeiro integrar em relação a y (a integral interna) e depois em relação a x.

Passo 2

Calcule a integral interna
\int_{0}^{x}\bigl(xy + y^{3}\bigr)\,dy.
Separe em duas parcelas:
\int_{0}^{x}xy\,dy = x\int_{0}^{x}y\,dy \quad\text{e}\quad \int_{0}^{x}y^{3}\,dy.
Usando \int_{0}^{x}y\,dy = \tfrac{x^{2}}{2} e \int_{0}^{x}y^{3}\,dy = \tfrac{x^{4}}{4}, temos
\int_{0}^{x}xy\,dy = x\cdot\tfrac{x^{2}}{2} = \tfrac{x^{3}}{2}, \qquad \int_{0}^{x}y^{3}\,dy = \tfrac{x^{4}}{4}.
Logo a integral interna vale
\tfrac{x^{3}}{2} + \tfrac{x^{4}}{4}.

Passo 3

Substitua na integral externa e calcule
\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{x^{3}}{2} + \tfrac{x^{4}}{4}\Bigr)\,dx.
Separe novamente:
\int_{0}^{1}\tfrac{x^{3}}{2}\,dx \quad\text{e}\quad \int_{0}^{1}\tfrac{x^{4}}{4}\,dx.

Passo 4

Calcule cada parte:
\int_{0}^{1}\tfrac{x^{3}}{2}\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}x^{3}\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{8},
\int_{0}^{1}\tfrac{x^{4}}{4}\,dx = \tfrac{1}{4}\int_{0}^{1}x^{4}\,dx = \tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{5} = \tfrac{1}{20}.

Passo 5

Some os resultados:
\tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{20} = \tfrac{5}{40} + \tfrac{2}{40} = \tfrac{7}{40}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{40}

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