Calcule: \int_{0}^{2} \int_{0}^{x}(2 x+3 y) d y d x Passo 1O enunciado pede para calcular a integral dupla \int_{0}^{2}\int_{0}^{x}(2x+3y)\,dy\,dx. Estamos no contexto de integrais iteradas em cálculo multivariável e vamos usar o Teorema de Fubini para integrar primeiro em y (a integral interna) e depois em x. Passo 2Vamos integrar em y, tratando x como constante. Montamos \int_{0}^{x}(2x+3y)\,dy. Quebrando em dois termos temos \int_{0}^{x}2x\,dy+\int_{0}^{x}3y\,dy. Integrando cada um: \int_{0}^{x}2x\,dy=2x\bigl[y\bigr]_{0}^{x}=2x\cdot x=2x^{2}, \int_{0}^{x}3y\,dy=3\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{x}=\frac{3x^{2}}{2}. Somando, \int_{0}^{x}(2x+3y)\,dy =2x^{2}+\frac{3x^{2}}{2} =\frac{7}{2}x^{2}. Passo 3Agora integramos em x de 0 a 2: \int_{0}^{2}\frac{7}{2}x^{2}\,dx =\frac{7}{2}\int_{0}^{2}x^{2}\,dx =\frac{7}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} =\frac{7}{2}\cdot\frac{8}{3} =\frac{56}{6} =\frac{28}{3}. Resposta \displaystyle \frac{28}{3} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule: \int_{0}^{1} \int_{0}^{x}\left(x y+y^{3}\right) d y d x Calcule: \int_{0}^{2} \int_{0}^{x}\left(3 x^{2} y-y^{3}\right) d y d x Calcule: \int_{0}^{1} \int_{0}^{x}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x Calcule: \int_{0}^{1} \int_{0}^{x}(3 y+2 x) d y d x