Calcule:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x}(2 x+3 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{0}^{x}(2x+3y)\,dy\,dx.
Estamos no contexto de integrais iteradas em cálculo multivariável e vamos usar o Teorema de Fubini para integrar primeiro em y (a integral interna) e depois em x.

Passo 2

Vamos integrar em y, tratando x como constante. Montamos
\int_{0}^{x}(2x+3y)\,dy.
Quebrando em dois termos temos
\int_{0}^{x}2x\,dy+\int_{0}^{x}3y\,dy.
Integrando cada um:
\int_{0}^{x}2x\,dy=2x\bigl[y\bigr]_{0}^{x}=2x\cdot x=2x^{2},
\int_{0}^{x}3y\,dy=3\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{x}=\frac{3x^{2}}{2}.
Somando,
\int_{0}^{x}(2x+3y)\,dy =2x^{2}+\frac{3x^{2}}{2} =\frac{7}{2}x^{2}.

Passo 3

Agora integramos em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\frac{7}{2}x^{2}\,dx =\frac{7}{2}\int_{0}^{2}x^{2}\,dx =\frac{7}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} =\frac{7}{2}\cdot\frac{8}{3} =\frac{56}{6} =\frac{28}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{28}{3}

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