Calcule:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo é integração de polinômios em duas variáveis usando a ordem dy\,dx; vamos primeiro integrar em y (tratando x como constante) e depois em x.

Passo 2

Para a integral interna em y temos
\int_{0}^{x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy =\left[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{x} =x^{2}\cdot x+\frac{x^{3}}{3} =\frac{4x^{3}}{3}.

Passo 3

Substituindo na integral externa em x:
\int_{0}^{1}\frac{4x^{3}}{3}\,dx =\frac{4}{3}\int_{0}^{1}x^{3}\,dx =\frac{4}{3}\cdot\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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