Resolva as seguintes EDO’s de Primeira Ordem usando o Método de Separação de Variáveis.
y^{\prime}=y^{2}-y.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = y^2 - y
usando o método de separação de variáveis. Isso quer dizer que vamos escrever a derivada como uma função de y multiplicada por uma função de x de forma que possamos integrar ambos os lados.

Passo 2

Reescrevendo a equação como diferencial, temos
\frac{dy}{dx} = y(y - 1).
Para separar as variáveis, colocamos todos os termos em y de um lado e o dx do outro:
\frac{dy}{y(y - 1)} = dx.

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{y(y - 1)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{y-1}.
Resolvendo A(y - 1) + B\,y = 1 resulta em
A = -1,\quad B = 1,
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\frac{1}{y(y - 1)} = -\frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(-\frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1}\Bigr)\,dy = \int 1\,dx.
Isso dá
- \ln\lvert y\rvert + \ln\lvert y - 1\rvert = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agrupando o logaritmo,
\ln\Bigl\lvert\frac{y - 1}{y}\Bigr\rvert = x + C.
Definindo K = e^C, obtemos
\frac{y - 1}{y} = K\,e^{x} \quad\Longrightarrow\quad 1 - \frac{1}{y} = K\,e^{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y} = 1 - K\,e^{x} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \frac{1}{1 - K\,e^{x}}.
Além dessa família, as soluções constantes y=0 e y=1 também satisfazem y'=y^2-y=0.

Resposta

A solução geral pela separação de variáveis é
y(x) = \frac{1}{1 - K\,e^{x}},
com K constante arbitrária, além das soluções de equilíbrio
y(x) = 0 \quad\text{e}\quad y(x) = 1.

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