Faça o que é pedido em cada item:
Dada a função f(x)=4-2 x, 0<x<2, encontre uma função cuja série de Fourier em cossenos convirja para a função f(x) no intervalo ] 0,2[.

Passo 1

O enunciado dá \displaystyle f(x)=4-2x para 0<x<2 e pede uma função cuja série de Fourier em cossenos converge para f(x) em ]0,2[. Para obter essa série, vamos construir a extensão par de f em [-2,2] e depois torná-la periódica com período T=4.

Passo 2

Definimos a extensão par g em [-2,2] por
g(x)=f(\lvert x\rvert)=4-2\lvert x\rvert,\quad -2<x<2.
Com isso g é par e satisfaz g(x)=f(x) sempre que x\in(0,2).

Passo 3

Estendemos g de forma periódica com período 4, isto é, impomos
g(x+4)=g(x)\quad\forall x\in\mathbb R.
Essa função g é par e 4-periódica, e sua série de Fourier em cossenos em [0,2] (com modo geral \cos\bigl(n\pi x/2\bigr)) convergirá para g(x). Em particular, para x\in(0,2) teremos convergência para f(x).

Resposta

A função cuja série de Fourier em cossenos converge para \,f(x)=4-2x em ]0,2[ é a extensão par e 4-periódica
g(x)=4-2\lvert x\rvert,\quad -2<x<2,
com g(x+4)=g(x).

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