Faça o que é pedido em cada item:
Dada a função
, encontre uma função cuja série de Fourier em cossenos convirja para a função
no intervalo
.
Dada a função
Passo 1
O enunciado dá
para
e pede uma função cuja série de Fourier em cossenos converge para
em
. Para obter essa série, vamos construir a extensão par de
em
e depois torná-la periódica com período
.
Passo 2
Definimos a extensão par
em
por
Com isso
é par e satisfaz
sempre que
.
Passo 3
Estendemos
de forma periódica com período
, isto é, impomos
Essa função
é par e
-periódica, e sua série de Fourier em cossenos em
(com modo geral
) convergirá para
. Em particular, para
teremos convergência para
.
Resposta
A função cuja série de Fourier em cossenos converge para
em
é a extensão par e
-periódica
com
.