Calcule a integal de linha \int_{C}\left(x^{2}+x y\right) d x+\left(x y^{2}\right) d y, sabendo que C é o bordo do triângulo de vertíces (0,0),(1,0) e (0,1), orientada positivamente. (Sgst.: Use Teorema de Green)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\oint_{C}\bigl(x^{2}+x y\bigr)\,dx+\bigl(x y^{2}\bigr)\,dy
onde C é o bordo orientado positivamente (sentido anti-horário) do triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1).
Conteúdo: Teorema de Green, que converte uma integral de linha num bordo numa integral dupla sobre a região interna.

Passo 2

Identificamos as funções
P(x,y)=x^{2}+x y, \qquad Q(x,y)=x y^{2}.
Pelo Teorema de Green vale
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é o interior do triângulo.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x y^{2}) =y^{2}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+x y) =x.
Logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =y^{2}-x.

Passo 4

O domínio D é dado por
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}.
Montamos a integral dupla em coordenadas cartesianas:
\iint_{D}(y^{2}-x)\,dA =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\bigl(y^{2}-x\bigr)\,dy\,dx.

Passo 5

Integramos primeiro em y:
\int_{y=0}^{1-x}(y^{2}-x)\,dy =\int_{0}^{1-x}y^{2}\,dy -\int_{0}^{1-x}x\,dy =\frac{(1-x)^{3}}{3}-x(1-x).
Agora em x:
\int_{0}^{1}\Bigl[\frac{(1-x)^{3}}{3}-x(1-x)\Bigr]dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}(1-x)^{3}dx -\int_{0}^{1}x(1-x)dx.
Calculamos separadamente:
\int_{0}^{1}(1-x)^{3}dx=\frac{1}{4}, \qquad \int_{0}^{1}x(1-x)dx=\frac{1}{6}.
Portanto
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{6} =\frac{1}{12}-\frac{1}{6} =-\frac{1}{12}.

Resposta

-\tfrac{1}{12}

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