Calcule a integal de linha
, sabendo que
é o bordo do triângulo de vertíces
e
, orientada positivamente. (Sgst.: Use Teorema de Green)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
onde
é o bordo orientado positivamente (sentido anti-horário) do triângulo com vértices
,
e
.
Conteúdo: Teorema de Green, que converte uma integral de linha num bordo numa integral dupla sobre a região interna.
Conteúdo: Teorema de Green, que converte uma integral de linha num bordo numa integral dupla sobre a região interna.
Passo 2
Identificamos as funções
Pelo Teorema de Green vale
onde
é o interior do triângulo.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando é
Passo 4
O domínio
é dado por
Montamos a integral dupla em coordenadas cartesianas:
Passo 5
Integramos primeiro em
:
Agora em
:
Calculamos separadamente:
Portanto