Estude a convergência das seguintes séries:
\sum \frac{1}{n 2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,2^{n}}.
Este é um exercício sobre séries numéricas, e vamos usar o teste da razão para verificar convergência absoluta (que implica convergência).

Passo 2

Seja a_{n}=\frac{1}{n\,2^{n}}. Aplicamos o teste da razão, calculando
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\frac{1}{(n+1)\,2^{\,n+1}}}{\frac{1}{n\,2^{n}}} =\frac{n}{n+1}\,\frac{1}{2}.
Tomando o limite quando n\to\infty, obtém-se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\,\frac{1}{2} =\frac{1}{2}.

Passo 3

Como L=\tfrac{1}{2}<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência da série original.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,2^{n}} converge absolutamente e, portanto, converge.

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