Estude a convergência das seguintes séries: (3 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo envolve séries numéricas de termos positivos, em que podemos usar o teste da razão e o critério de comparação. Opcionalmente, podemos reconhecer o valor da soma via série de potências.
Passo 2
Defina
. Como
, aplicamos o teste da razão:
Como
, concluímos que a série converge absolutamente e, portanto, converge.
Passo 3
Para reforçar, use comparação com a série geométrica
. Para todo
:
Sabendo que
converge (razão
), a série dada também converge por comparação.
Passo 4
Para achar o valor da soma, lembre que, para
,
Tomando
, obtemos
Resposta
A série
converge absolutamente (logo converge) e tem soma
.