Estude a convergência das seguintes séries: (3 pontos)
\sum \frac{1}{n 2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\,2^n}.
O conteúdo envolve séries numéricas de termos positivos, em que podemos usar o teste da razão e o critério de comparação. Opcionalmente, podemos reconhecer o valor da soma via série de potências.

Passo 2

Defina a_n = \tfrac{1}{n2^n}. Como a_n>0, aplicamos o teste da razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1/((n+1)2^{n+1})}{1/(n2^n)} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\cdot\frac1{2} = \frac12.
Como \tfrac12<1, concluímos que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 3

Para reforçar, use comparação com a série geométrica \sum 1/2^n. Para todo n\ge1:
0 < \frac{1}{n2^n} \le \frac{1}{2^n}.
Sabendo que \sum 1/2^n converge (razão 1/2<1), a série dada também converge por comparação.

Passo 4

Para achar o valor da soma, lembre que, para |x|<1,
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x).
Tomando x=\tfrac12, obtemos
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n} = -\ln\Bigl(1-\tfrac12\Bigr) = -\ln\Bigl(\tfrac12\Bigr) = \ln2.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n} converge absolutamente (logo converge) e tem soma \ln2.

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