(1.0) Calcule a Integra Imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(2 x+1)^{3+\Omega}} d x
e determine se a Integral divergem ou convergem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{(2x+1)^{3+\Omega}}\,dx
onde \Omega é um parâmetro real, e decidir para quais valores de \Omega essa integral converge ou diverge.
Conteúdo usado: mudança de variável em integrais e estudo de convergência de integrais impróprias do tipo \int_{a}^{\infty}x^{-p}dx.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x+1, \quad du = 2\,dx,
logo dx = \tfrac{1}{2}du.
Quando x=1, u=2\cdot1+1=3.
Quando x\to\infty, u\to\infty.
Assim a integral vira
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{(2x+1)^{3+\Omega}}\,dx = \frac{1}{2}\int_{3}^{\infty}u^{-(3+\Omega)}\,du.

Passo 3

Para \int_{3}^{\infty}u^{-(3+\Omega)}du usamos a antiderivada válida sempre que 3+\Omega\neq1 (isto é, \Omega\neq-2):
\int u^{-(3+\Omega)}du = \frac{u^{-(2+\Omega)}}{-(2+\Omega)}.
Logo
\int_{3}^{\infty}u^{-(3+\Omega)}du = \lim_{R\to\infty}\left[ \frac{u^{-(2+\Omega)}}{-(2+\Omega)} \right]_{u=3}^{u=R} = \frac{1}{2+\Omega}\,3^{-(2+\Omega)}
desde que o termo u^{-(2+\Omega)} tenda a zero quando u\to\infty. Isso ocorre se e somente se
2+\Omega>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \Omega>-2.
Se \Omega\le -2, o expoente de u na antiderivada não garante decaimento em \infty (no caso \Omega=-2 \int u^{-1}du que diverge como \ln, e para \Omega<-2 cresce ainda mais).

Passo 4

Multiplicando pelo fator \tfrac12 que faltava, obtemos para \Omega>-2:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{(2x+1)^{3+\Omega}}\,dx = \frac{1}{2}\,\frac{1}{2+\Omega}\,3^{-(2+\Omega)} = \frac{1}{2(2+\Omega)\,3^{2+\Omega}}.

Resposta

A integral converge se, e somente se, \Omega>-2, e neste caso
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{(2x+1)^{3+\Omega}}\,dx = \frac{1}{2(2+\Omega)\,3^{2+\Omega}}.
Para \Omega\le -2 a integral diverge.

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