(1.0) Calcule a Integra Imprópria
e determine se a Integral divergem ou convergem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
onde
é um parâmetro real, e decidir para quais valores de
essa integral converge ou diverge.
Conteúdo usado: mudança de variável em integrais e estudo de convergência de integrais impróprias do tipo .
Conteúdo usado: mudança de variável em integrais e estudo de convergência de integrais impróprias do tipo
Passo 2
Fazemos a substituição
logo
.
Quando ,
.
Quando ,
.
Assim a integral vira
Quando
Quando
Assim a integral vira
Passo 3
Para
usamos a antiderivada válida sempre que
(isto é,
):
Logo
desde que o termo
tenda a zero quando
. Isso ocorre se e somente se
Se
, o expoente de
na antiderivada não garante decaimento em
(no caso
dá
que diverge como
, e para
cresce ainda mais).
Passo 4
Multiplicando pelo fator
que faltava, obtemos para
:
Resposta
A integral converge se, e somente se,
, e neste caso
Para
a integral diverge.