(1.0) Usando o método de frações parciais para calcular a seguinte integral indefinida:
\int\left(\frac{t+\Omega+7}{t^{2}-2 t+1}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{t + \Omega + 7}{t^{2} - 2t + 1}\,dt
usando frações parciais. Aqui reconhecemos que o denominador é
t^{2}-2t+1 = (t-1)^{2},
logo temos um fator linear repetido. Para resolver, vamos decompor a função racional em termos de \frac{1}{t-1} e \frac{1}{(t-1)^{2}}, e em seguida integrar termo a termo.

Passo 2

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{t + \Omega + 7}{(t-1)^{2}} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{(t-1)^{2}}.
Isto significa que
\frac{A}{t-1} + \frac{B}{(t-1)^{2}} = \frac{A(t-1) + B}{(t-1)^{2}}
deve ser igual a \frac{t + \Omega + 7}{(t-1)^{2}}.

Passo 3

Igualamos os numeradores:
A(t-1) + B = t + \Omega + 7.
Comparando coeficientes de t e termos constantes, temos
A = 1, \qquad -\,A + B = \Omega + 7 \;\Longrightarrow\; -1 + B = \Omega + 7 \;\Longrightarrow\; B = \Omega + 8.

Passo 4

Substituindo A e B na integral, obtemos
\int \frac{t + \Omega + 7}{(t-1)^{2}}\,dt = \int \Bigl(\frac{1}{t-1} + \frac{\Omega + 8}{(t-1)^{2}}\Bigr)\,dt.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{t-1}\,dt = \ln\bigl|t-1\bigr|, \qquad \int \frac{\Omega + 8}{(t-1)^{2}}\,dt = (\Omega + 8)\int (t-1)^{-2}\,dt = -\,\frac{\Omega + 8}{t-1}.

Resposta

\int \frac{t + \Omega + 7}{t^{2} - 2t + 1}\,dt = \ln\bigl|t-1\bigr| \;-\;\frac{\Omega + 8}{t-1} + C.

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