Q 3 (2,5 ptos) Resolva a equação y+\left(2 x y-e^{-2 y}\right) \frac{d y}{d x}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y + \bigl(2xy - e^{-2y}\bigr)\,\frac{dy}{dx} = 0.
Trata‐se de uma equação que não é imediatamente separável nem exata, mas podemos inverter a derivada e interpretar x como função de y. Assim vamos achar uma equação linear em x(y).

Passo 2

Reescrevendo em diferencial:
y\,dx + \bigl(2xy - e^{-2y}\bigr)\,dy = 0.
Isolando dx/dy:
\frac{dx}{dy} = -\frac{2xy - e^{-2y}}{y} = -2x + \frac{e^{-2y}}{y}.
Ou seja, temos a equação linear em x(y):
\frac{dx}{dy} + 2x = \frac{e^{-2y}}{y}.

Passo 3

Para resolver \frac{dx}{dy} + 2x = \frac{e^{-2y}}{y}, identificamos o fator integrante
\mu(y) = e^{\int 2\,dy} = e^{2y}.
Multiplicando tudo por \mu(y):
e^{2y}\,\frac{dx}{dy} + 2e^{2y}x = \frac{e^{2y}e^{-2y}}{y} = \frac{1}{y}.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dy}\bigl(e^{2y}x\bigr) = \frac{1}{y}.

Passo 4

Integramos em y:
e^{2y}x = \int \frac{1}{y}\,dy = \ln\bigl|y\bigr| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando x, obtemos a solução geral:
x = e^{-2y}\,\bigl(\ln\lvert y\rvert + C\bigr).
Podemos também escrever implicitamente:
x\,e^{2y} - \ln\lvert y\rvert = C.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
\boxed{x\,e^{2y} - \ln\lvert y\rvert = C.}

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