(1.5) Resolva as seguintes Integrais usando o método de integração por substituição.
a) \int\left(e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega+2} \cos (\theta)\right) d \theta
b) \int_{0}^{\pi / 3}\left(e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega+2} \cos (\theta)\right) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais
\int\bigl(e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega+2}\cos(\theta)\bigr)\,d\theta
e
\int_{0}^{\pi/3}\bigl(e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega+2}\cos(\theta)\bigr)\,d\theta
usando substituição. O conteúdo aqui é reconhecer uma função composta e^{u} com u=\operatorname{sen}(\theta)+\Omega+2 cuja derivada u' aparece como \cos(\theta).

Passo 2

Para a integral indefinida (letra a), note que \Omega e 2 são constantes, então fazemos a troca
u = \operatorname{sen}(\theta)+\Omega+2,
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du = \cos(\theta)\,d\theta.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega+2}\cos(\theta)\,d\theta temos
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.

Passo 4

Voltando a variável \theta,
\int e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega+2}\cos(\theta)\,d\theta = e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega+2} + C.

Passo 5

Para a integral definida (letra b), usamos a mesma primitiva e aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{\pi/3}e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega+2}\cos(\theta)\,d\theta =\Bigl[e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega+2}\Bigr]_{0}^{\pi/3}.

Passo 6

Calculando nos limites,
e^{\operatorname{sen}(\pi/3)+\Omega+2}-e^{\operatorname{sen}(0)+\Omega+2} = e^{\Omega+2}\bigl(e^{\sqrt{3}/2}-e^{0}\bigr) = e^{\Omega+2}\bigl(e^{\frac{\sqrt{3}}{2}} - 1\bigr).

Resposta

a) \displaystyle e^{\operatorname{sen}(\theta)+\Omega+2} + C.
b) \displaystyle e^{\Omega+2}\bigl(e^{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} - 1\bigr).

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