Q 4 (2,5 ptos) Resolva
\frac{d y}{d x}=\frac{x+3 y-5}{x-y-1} .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x+3y-5}{\,x - y -1\,}.
O conteúdo é resolução de uma equação de variáveis separáveis após torná-la homogênea por meio de mudança de variáveis. Vamos precisar: 1) deslocar o sistema para eliminar constantes; 2) usar a substituição v=Y/X para resolver a homogênea; 3) integrar e voltar às variáveis originais.

Passo 2

Fazemos o deslocamento
X = x - 2,\quad Y = y - 1.
Então
x = X+2,\quad y = Y+1,
e
x+3y-5 = (X+2)+3(Y+1)-5 = X+3Y, \quad x-y-1 = (X+2)-(Y+1)-1 = X - Y.
Como dY/dX = dy/dx, a equação fica
\frac{dY}{dX} = \frac{X+3Y}{\,X-Y\,},
que é homogênea de grau zero em (X,Y).

Passo 3

Para resolver a homogênea, usamos
v = \frac{Y}{X}\quad\Longrightarrow\quad Y = vX, \quad \frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}.
Substituindo em
v + X\frac{dv}{dX} = \frac{X+3Y}{X-Y} = \frac{1+3v}{1-v},
obtemos
X\frac{dv}{dX} = \frac{1+3v}{1-v} - v = \frac{1+3v - v(1-v)}{1-v} = \frac{1 +2v +v^2}{1-v} = \frac{(v+1)^2}{1-v}.

Passo 4

Separamos variáveis:
\frac{1-v}{(v+1)^2}\,dv = \frac{dX}{X}.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{1-v}{(v+1)^2}\,dv = \int \frac{dX}{X}.
No lado esquerdo,
\int \frac{1-v}{(v+1)^2}\,dv = -\frac{2}{v+1} \;-\;\ln\bigl|v+1\bigr| + C.
Logo
-\frac{2}{v+1} \;-\;\ln\bigl|v+1\bigr| = \ln\bigl|X\bigr| + C_1.

Passo 5

Voltando a v=Y/X, X=x-2, Y=y-1, temos
v+1 = \frac{Y}{X}+1 = \frac{(y-1)+(x-2)}{x-2} = \frac{x+y-3}{x-2}.
Substituindo em
-\frac{2}{v+1} - \ln|v+1| = \ln|X| + C_1
e rearranjando, chega-se à forma implícita mais simples
\ln\bigl|x+y-3\bigr| \;+\; \frac{2\,(x-2)}{\,x+y-3\,} = C.
Uma versão equivalente, exponenciando, é
\bigl(x+y-3\bigr)\,\exp\!\Bigl(\frac{2(x-2)}{\,x+y-3\,}\Bigr)=K,
com C,K constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, pode ser escrita como
\ln\bigl|x+y-3\bigr| \;+\; \frac{2\,(x-2)}{\,x+y-3\,} = C,
ou equivalentemente
\bigl(x+y-3\bigr)\,e^{2(x-2)/(x+y-3)}=K,
onde C (ou K) é a constante de integração.

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