O conteúdo é resolução de uma equação de variáveis separáveis após torná-la homogênea por meio de mudança de variáveis. Vamos precisar: 1) deslocar o sistema para eliminar constantes; 2) usar a substituição v=Y/X para resolver a homogênea; 3) integrar e voltar às variáveis originais.
Passo 2
Fazemos o deslocamento
X = x - 2,\quad Y = y - 1.
Então
x = X+2,\quad y = Y+1,
e
x+3y-5 = (X+2)+3(Y+1)-5 = X+3Y, \quad x-y-1 = (X+2)-(Y+1)-1 = X - Y.
Como dY/dX = dy/dx, a equação fica
\frac{dY}{dX} = \frac{X+3Y}{\,X-Y\,},
que é homogênea de grau zero em (X,Y).
Passo 3
Para resolver a homogênea, usamos
v = \frac{Y}{X}\quad\Longrightarrow\quad Y = vX, \quad \frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}.
Substituindo em
v + X\frac{dv}{dX} = \frac{X+3Y}{X-Y} = \frac{1+3v}{1-v},