Calcule as integrais
c integral x sen(4 x) d x integral1^infty x^2 e^-(x^3+2) d x

Passo 1

O enunciado pede duas integrais: a integral indefinida
integral x,sen(4x),dx
e a integral imprópria
integral1^infty x^2 e^-l(x^3+2r),dx
Para a primeira vamos usar integração por partes; para a segunda, uma simples mudança de variável.

Passo 2

Calculemos
integral x,sen(4x),dx
Escolhemos
u = x, dv = sen(4x),dx
Então
du = dx, v = integral sen(4x),dx = -tfrac14cos(4x)
Pela fórmula de partes,
integral u,dv = u,v - integral v,du,
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integral x,sen(4x),dx = xl(-tfrac14cos(4x)r) - integral l(-tfrac14cos(4x)r),dx
Isso dá
-tfracx4cos(4x) +tfrac14integral cos(4x),dx =-tfracx4cos(4x) +tfrac14l(tfrac14sen(4x)r)
e, incluindo a constante de integração C,
integral x,sen(4x),dx =-tfracx4cos(4x) +tfrac116sen(4x) + C

Passo 3

Agora a integral imprópria
integral1^infty x^2 e^-l(x^3+2r),dx
Note que a derivada de x^3+2 é 3x^2. Fazemos a substituição
t = x^3 + 2, dt = 3x^2,dx ;Longrightarrow; x^2,dx = tfrac13,dt
Quando x=1, t=1^3+2=3; quando xtoinfty, ttoinfty. Assim
integral1^infty x^2 e^-(x^3+2),dx = integralt=3^infty e^-t,dt3 = tfrac13integral3^infty e^-t,dt
E, sabendo que integrala^infty e^-tdt=e^-a, obtemos
tfrac13,e^-3

Resposta

Para as integrais dadas, temos:
integral x,sen(4x),dx =-tfracx4cos(4x) +tfrac116sen(4x) + C,
integral1^infty x^2 e^-l(x^3+2r),dx =tfrace^-33

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