Esboce a região delimitada pelas curvas y=-x^2 e y=10 x+x^2 e calcule a sua área.

Passo 1

O enunciado pede o esboço e a área da região limitada pelas duas parábolas
y1(x) = -x^2
e
y2(x) = 10x + x^2
Vamos usar a ideia de “área entre curvas”: determinar os pontos de interseção, identificar qual curva está por cima no intervalo e, depois, integrar a diferença das funções.

Passo 2

Calculamos as abscissas de interseção resolvendo
-x^2 = 10x + x^2
que dá
-2x^2 -10x = 0 Longrightarrow -2x,(x + 5)=0 Longrightarrow x=0 ;ou; x=-5

Passo 3

Para saber qual curva está acima entre x=-5 e x=0, basta testar um valor, por exemplo x=-1:
y1(-1) = -(-1)^2 = -1, y2(-1)=10cdot(-1)+(-1)^2=-9,
logo y1(-1)>y2(-1). Portanto, em todo o intervalo [-5,0], a curva y1(x)=-x^2 fica acima de y2(x)=10x+x^2.

Passo 4

A área buscada é
A = integralx=-5^0l[ysuperior(x)-yinferior(x)r],dx =integral-5^0l[(-x^2)-(10x+x^2)r],dx =integral-5^0l(-2x^2-10xr),dx
Calculamos a integral:
integral(-2x^2-10x),dx =-23x^3-5x^2 + C
Logo,
A =l[-tfrac23x^3-5x^2r]-5^0 =l(0r)-l[-tfrac23(-5)^3-5(-5)^2r] =-l[tfrac2503-125r] =1253

Resposta

A área da região é 1253.

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