Calcule as integrais
integral0^infty x^3 e^-(x^4+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^infty x^3 e^-l(x^4+1r) , dx
O conteúdo principal aqui é reconhecer quando podemos fatorar constantes de um exponencial e usar substituição do tipo t=x^4.

Passo 2

Observe que
e^-l(x^4+1r) = e^-1,e^-x^4
Logo a integral fica
integral0^infty x^3 e^-l(x^4+1r) , dx = e^-1integral0^infty x^3 e^-x^4 , dx

Passo 3

Fazendo a substituição
t = x^4, dt = 4,x^3,dx Longrightarrow x^3,dx = dt4,
e os limites x=0to t=0, xtoinftyto ttoinfty, temos
integral0^infty x^3 e^-x^4 , dx = integral0^infty e^-t,dt4 = 14integral0^infty e^-t,dt

Passo 4

A integral padrão
integral0^infty e^-t,dt
vale 1. Portanto
integral0^infty x^3 e^-x^4 , dx = 14 Longrightarrow integral0^infty x^3 e^-l(x^4+1r) , dx = e^-1cdot14 = 14e

Resposta

14e

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