Sabendo que integral1^4 x^2 d x=21 e integral1^4 x d x=152, use as propriedades da integral definida para calcular as integrais.
integral1^4(3 x^2+5) d x

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: temos duas integrais definidas já calculadas, que são integral1^4 x^2 d x = 21 e integral1^4 x d x = 152. A questão pede pra gente usar as propriedades das integrais para calcular integral1^4(3 x^2+5) d x. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente propriedades das integrais definidas, como a linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma das propriedades das integrais definidas é a linearidade. Isso significa que a integral de uma soma é igual à soma das integrais, e a constante pode ser fator comum. Ou seja,
integrala^b ( c cdot f(x) + d ) dx = c cdot integrala^b f(x) dx + d cdot integrala^b dx
Aqui, nossa função dentro da integral é 3x^2 + 5. Então, aplicando a propriedade:
integral1^4(3 x^2+5) d x = 3 cdot integral1^4 x^2 d x + 5 cdot integral1^4 dx

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que já conhecemos. Sabemos que integral1^4 x^2 d x = 21. Além disso, precisamos calcular integral1^4 dx.
A integral de dx de 1 a 4 é simplesmente a diferença entre os limites de integração:
integral1^4 dx = 4 - 1 = 3

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão que montamos:
3 cdot integral1^4 x^2 d x + 5 cdot integral1^4 dx = 3 cdot 21 + 5 cdot 3
Agora, vamos fazer as multiplicações:
3 cdot 21 = 63
5 cdot 3 = 15

Passo 5

Finalmente, somamos esses resultados:
63 + 15 = 78

Resposta

A integral integral1^4(3 x^2+5) d x é igual a 78.

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