Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Justifique bem todos os passos feitos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma série infinita do tipo alternada, ou seja, com sinais positivos e negativos que se alternam. A série é:
O conteúdo principal aqui é convergência de séries. Vamos precisar entender a diferença entre convergência absoluta e convergência condicional, além de saber aplicar o Teste da Série Alternada e o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que vamos analisar a série sem considerar os sinais alternados, ou seja, vamos olhar para:
Passo 3
Para entender se essa série converge ou diverge, vamos comparar com uma série que já conhecemos. Observamos que para todo n >= 1 :
nn^2 + 2 >= nn^2 + n^2 = n2n^2 = 12n
Então, temos:
nn^2 + 2 >= 12n
Passo 4
Sabemos que a série sumn=1^infty 1n é a série harmônica, que é divergente. Pelo Teste da Comparação, se uma série maior que uma série divergente também diverge, então a série que estamos analisando também diverge.
Então, como nn^2 + 2 >= 12n e a série sum 12n diverge, concluímos que:
sumn=1^infty nn^2 + 2 diver>=
Passo 5
Como a série com os termos absolutos diverge, isso significa que a série original não é absolutamente convergente. Mas ainda tem a chance de ser condicionalmente convergente.
Para verificar isso, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos bn = nn^2 + 2 são positivos, decrescentes e tendem a zero quando n tende ao infinito, então a série alternada sum (-1)^n-1 bn converge.
Vamos conferir:
Positivos: nn^2 + 2 > 0 para todo n >= 1 .
Decrescentes: Ao aumentar n , o denominador cresce mais rápido que o numerador, então bn diminui.
Tendência a zero:
limn to infty nn^2 + 2 = limn to infty 1n + 2n = 0
Como todos os critérios são atendidos, a série alternada converge.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n-1 nn^2 + 2 é condicionalmente convergente.