Calcule as integrais:
integral0^pi x sin ^2(x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^pi x sin^2(x) dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve um produto de uma função polinomial ( x) e uma função trigonométrica ( sin^2(x)). Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica para simplificar sin^2(x) e, em seguida, aplicar o método de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que transforma sin^2(x) em uma expressão mais fácil de integrar:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
Então, substituindo na integral:
integral x sin^2(x) dx = integral x cdot 1 - cos(2x)2 dx = 12 integral x dx - 12 integral x cos(2x) dx

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
  1. 12 integral x dx
  2. -12 integral x cos(2x) dx
A primeira parte é uma integral básica, e a segunda parte vai requerer o uso da integração por partes.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
12 integral x dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 5

Agora, para a segunda integral -12 integral x cos(2x) dx, vamos usar integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = x então du = dx
  • dv = cos(2x) dx então v = sin(2x)2
Aplicando a fórmula:
integral x cos(2x) dx = x cdot sin(2x)2 - integral sin(2x)2 dx = x sin(2x)2 + cos(2x)4
Então, a segunda parte fica:
-12 ( x sin(2x)2 + cos(2x)4 ) = -x sin(2x)4 - cos(2x)8

Passo 6

Agora, juntando ambas as partes, temos:
x^24 - x sin(2x)4 - cos(2x)8 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Calculando nos limites de 0 a pi, a integral avaliada fica:
integral0^pi x sin^2(x) dx = pi^24 - pi cdot 04 - cos(2pi)8 + 0 cdot sin(0)4 + cos(0)8 = pi^24 - 18 + 18 = pi^24
Portanto, a resposta final é:
pi^24

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