Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelo eixo x, pela curva y=raizx e pela reta x=4 :
(a) quando a região gira em torno da reta x=4; [Resposta: V=1285 pi].

Passo 1

O exercício pede para calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelo eixo x, pela curva y=raizx e pela reta x=4 em torno da reta x=4. O conteúdo é volume de revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, um elemento vertical em x gera uma casca de raio igual à distância entre x e a reta de rotação e altura igual a y(x). A fórmula geral é
V=integrala^b 2pi,(raio)(a

Passo 3

Identificamos que o raio da casca é 4-x, a altura é y=raizx e os limites são de x=0 até x=4. Assim, montamos o integral:
V = 2pi integral0^4(4 - x)raizx,dx

Passo 4

Vamos expandir o integrando e calcular a antiderivada. Temos
(4 - x)raizx = 4x^1/2 - x^3/2
Então
V = 2pi integral0^4 l(4x^1/2 - x^3/2r),dx =2pi l[integral0^44x^1/2,dx - integral0^4x^3/2,dxr] =2pi l[83x^3/2 - 25x^5/2r]0^4

Passo 5

Agora avaliamos em x=4: como 4^3/2=8 e 4^5/2=32, fica
V = 2pi l(83cdot8 - 25cdot32r) = 2pi l(643 - 645r) = 2pi cdot 12815 = 25615pi

Resposta

25615pi

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