Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelo eixo x, pela curva y=raizx e pela reta x=4 :
(b) qunado a região gira em torno da reta x=6. [Resposta: V=1925 pi].

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=6 a região do primeiro quadrante limitada pelo eixo x, pela curva y=raizx e pela reta x=4. O conteúdo que vamos usar é o método das cascas cilíndricas, adequado quando giramos em torno de uma reta vertical e queremos integrar em x.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, imaginamos fatias verticais de espessura dx na região. Cada fatia, ao girar em torno de x=6, gera uma “casca” de raio igual à distância horizontal até a reta de rotação e de altura igual ao valor de y naquela x. A fórmula geral é
V = 2pi integrala^b (raio)(a<ura),dx

Passo 3

Aqui a=0 e b=4.
  • O raio da casca, medido até x=6, é
raio = 6 - x
  • A altura da casca vem da função
a<ura = y = raizx
Logo o volume é
V = 2pi integral0^4 (6 - x),raizx,dx

Passo 4

Vamos calcular a integral interior:
integral0^4 (6 - x),raizx,dx = integral0^4 6,x^tfrac12,dx ;-;integral0^4 x^tfrac32,dx
Calcule cada termo:
integral0^4 6,x^tfrac12,dx = 6cdot23x^tfrac32|0^4 = 4cdotl(4^tfrac32r) = 4cdot 8 =32,
integral0^4 x^tfrac32,dx = 25x^tfrac52|0^4 = 25cdot 4^tfrac52 = 25cdot 32 = 645
Subtraindo, obtemos
integral0^4(6 - x)raizx,dx = 32 - 645 = 160 - 645 = 965

Passo 5

Multiplicando pelo fator 2pi do método das cascas, vem
V = 2pi cdot 965 = 1925,pi

Resposta

V = 1925,pi

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