Calcule as integrais:
integral0^infty x9+x^3 d x;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de x9 + x^3 de 0 até infty . Esse exercício envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integrais impróprias e técnicas de substituição.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Seja t = 1x . Assim, temos:
x = 1t e dx = -1t^2 dt

Passo 3

Substituindo x e dx na integral original, temos:
integral0^infty x9 + x^3 dx = integralinfty^0 1t9 + (1t)^3 (-1t^2) dt
Revertendo os limites de integração e simplificando:
= integral0^infty 11 + 9t^3 dt

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral integral0^infty 11 + 9t^3 dt . Para isso, usamos a fórmula padrão para integrais do tipo integral0^infty dt1 + a t^n , que é:
integral0^infty dt1 + a t^n = 1n a^-1/n pisin(pin)
No nosso caso, a = 9 e n = 3 .

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
integral0^infty 11 + 9t^3 dt = 13 cdot 9^-1/3 cdot pisin(pi3)
Sabemos que 9^1/3 = raiz[3]9 e sin(pi3) = raiz32 .

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos:
= 13 cdot 1raiz[3]9 cdot piraiz32 = 2pi3 raiz3 cdot raiz[3]9
Simplificando os termos:
= 2pi3 raiz3 cdot 3^2/3 = 2pi3^5/3 raiz3

Passo 7

Reconhecendo que 3^5/3 = 3 cdot 3^2/3 e simplificando ainda mais:
= 2pi3 cdot raiz3 cdot 3^2/3 = 2pi3^5/3 raiz3 = 2pi3 raiz3

Resposta

A integral integral0^infty x9 + x^3 dx é igual a 2pi3 raiz3 .

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