Determine se a integral converge ou diverge:
integral0^infty e^-x sin ^2(x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
integral0^infty e^-xsin^2(x),dx
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias no infinito e o teste de comparação para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Analisamos primeiro o comportamento em x=0. Usando a expansão sin(x)sim x quando xto0, temos
sin^2(x)sim x^2,
logo
e^-xsin^2(x)sim x^2,
e como integral0^1x^2,dx converge, não há problema de divergência na vizinhança de zero.

Passo 3

Agora examinamos o comportamento quando xtoinfty. Note que
0<= sin^2(x)<= 1
implica
0<= e^-xsin^2(x)<= e^-x

Passo 4

Sabemos que
integral0^inftye^-x,dx=1
converge. Pelo teste de comparação (ou comparação direta), como e^-xsin^2(x) está sempre entre 0 e e^-x, a integral dada converge absolutamente.

Passo 5

Concluímos que a integral imprópria é convergente.

Resposta

A integral converge.

Exercícios relacionados