Determine se a integral converge ou diverge:
;
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias no infinito e o teste de comparação para verificar convergência absoluta.
Passo 2
Analisamos primeiro o comportamento em
. Usando a expansão
quando
, temos
logo
e como
converge, não há problema de divergência na vizinhança de zero.
Passo 3
Agora examinamos o comportamento quando
. Note que
implica
Passo 4
Sabemos que
converge. Pelo teste de comparação (ou comparação direta), como
está sempre entre
e
, a integral dada converge absolutamente.
Passo 5
Concluímos que a integral imprópria é convergente.
Resposta
A integral converge.